资金的等值计算

资金的时间价值

不同时间发生的等额资金在价值上的差别称为资金的时间价值 也即资金在生产和流通过程中随着时间推移而产生的增值

时间价值的表现形式：

• 利润/收益 Income/profit：资金投入生产或流通领域产生的增值
• 利息 Interset：资金存入银行或向银行贷款所得到或付出的增值额

时间价值的衡量尺度：

• 绝对尺度：利息或收益
• 相对尺度：利息率或收益率

利息：贷款人向借款人让渡资金使用权而得到的一种报酬 利率：一个计息周期内，利息总额与本金的比率

单利

以借款本金为计息基数，利息不再生息 $F_n=P(1+ni)$ $F_n$ 本利和 $P$ 本金 $n$ 计息周期 $i$ 利率

复利

以本金与累计利息之和为计息基数 $F_n=P(1+i{)}^n$ 技术经济分析中时间价值一般采用复利法，充分反映资金的时间价值

不同计息周期的利率换算

（以年利率举例） 名义利率 r、计息周期 m、每一周期的计息利率 r/m

名义利率=每一周期的计息利率\times 一年内计息周期次数 \end{align}$$ **实际 (有效) 利率 i** 一年内获得的利息与年初本金之比计算的年利率 $实际利率＝ \dfrac{一年内按复利计息的利息总额}{年初本金}$ >[!note]- 例子 > 月利率 1% 名义利率 12% 实际利率 $(1+1\%)^{12}-1$ 如果一年计息 m 次 $(1+ \dfrac{12\%}{m} ) ^{m}-1$ ## 资金等值 通过等值计算，可以把不同时间点发生的资金金额换算到同一时间点进行价值比较 **等值资金** 在**利率一定**的条件下， 不同时间上**绝对数额不等**， 而**经济价值相等**的若干资金 **折现 Discount** 把**将来某一时间点**上的资金值换算到**现在时间点**上的等值资金值 >[!note]- 注意 > >不一定是折现到期初，只是一个相对的概念，只要将之后时间点转换到前面的时间点就算是折现 **折现率 Discount Rate i** 资金等值计算中使用的**反映资金时间价值**的参数 **现值 Present Value P** 相对的概念，任意时刻都可作为现值 **终值 Future Value F** 与现值等价的在将来某时点的资金值 **等年值/年金 Annual Value A** 分期等额收支的资金值 使用[[复利\|复利]]系数表和[[现金流量图\|现金流量图]] 带入系数公式计算 $未知量=已知量(未知量 / 已知量,i,n)$ **n 年标准形式：**  ### 一次收付 **一次收付型：** 分析系统的[[现金流量\|现金流量]]时，无论流入还是流出， 均在**一个时间点** **一次发生** - $P \to F$ $F=P(1+i)^{n}$ $F=P(F / P,i,n)$ - $F \to P$ $P=\dfrac{F}{(1+i)^{n}}$ $P=F(P / F,i,n)$ ### 等额分付 **多次支付** 现金流入和现金流出在**多个时间点**上 **等额分付** 多次支付的一种形式 **等额系列现金流** 现金流序列连续，且数额相等 #### $A \to F$ 收付年金终值 等比数列求和 (n 年年末)  $$\begin{align} F&=A(1+i)^{n-2}+A(1+i)^{n-1}+\cdots+A(1+i)+A \\ &=A\sum\limits_{t=1}^{n}(1+i)^{n-t} \\ &=A\left[ \frac{(1+i)^{n}-1}{i} \right] \\ \\ F&=A(F /A ,i,n) \end{align}$$ (n 年年初)  $F=A(F / A,i,n)\times(1+i)$ ** #### $F \to A$ 分付偿债基金 收付年金终值的逆运算 (n 年年末)  $$\begin{align} A&=F\left[ \frac{i}{(1+i)^{n}-1} \right] \\ \\ A&=F(A / F,i,n) \end{align}$$ (n 年年末) $F=A(F / A,i,n)\times(1+i)$ #### $A \to P$ 分付年金现值  $$\begin{align} P&=\frac{A}{(1+i)}+\frac{A}{(1+i)^{2}}+\cdots+\frac{A}{(1+i)^{n-1}}+\frac{A}{(1+i)^{n}} \\ &=\sum\limits_{t=1}^{n} \frac{A}{(1+i)^{t}} \\ &=A\left[ \frac{(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}} \right] \\ &=\frac{F}{(1+i)^{n}} \\ \\ P&=A(P / A,i,n) \end{align}$$ #### $P \to A$ 资本回收 年金现值的逆运算  $$\begin{align} A&=P\left[ \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1} \right] \\ \\ A&=P(A / P,i,n) \end{align}$$ ### 偿还贷款 ```mermaid graph LR 偿还贷款 --> 等额利息 & 等额本金 & 等额本息 & 一次支付 ``` **等额本金**：每年年末偿还固定的本金以及所欠利息 **等额本息**：每年年末等额偿还 **等额利息** ：每年年末只偿还利息，最后一年年末还清本金 **一次支付** ：最后一年年末一次偿还本息