一、基本补偿原理
被控对象含纯滞后环节的闭环传递函数：
G(s)= G_{0}(s) e^{ -\tau s }\quad \quad W(s)= \dfrac{D(s)G_{0}(s)e^{ -\tau s }}{1+D(s)G_{0}(s)e^{ -\tau s }} \end{align}$$ > 注意这里是将被控对象不包含纯滞后的部分作为 $G_{0}(s)$ 造成系统难以控制的本质是特征方程中含有纯滞后环节，引入与含纯滞后环节的被控对象并联的补偿器，称为史密斯预估补偿器 $G_{m}(s)$: $$\begin{align} W_{1}(s)=\dfrac{D(s)G_{0}(s)e^{ -\tau s }}{1+D(s)G_{0}(s)e^{ -\tau s }+ D(s)G_{m}(s)}= \dfrac{D(s)G_{0}(s)e^{ -\tau s }}{1+D(s)G_{0}(s)} \; \;{\color{red}\Rightarrow} \; \; G_{m}(s)=G_{0}(s)(1-e^{ -\tau s }) \end{align}$$ ### 二、控制算法 对补偿器[[模拟控制器离散化#1.2 阶跃响应不变法\|乘以零阶保持器]]进行离散化 $$\begin{align} G_{m}(z) =\mathscr{Z} \left[ G_{m}(s)G_{h}(s) \right] =\mathscr{Z}\left[G_{0}(s)(1-e^{ -\tau s } ) \dfrac{1-e^{ -T s }}{s}\right] =(1-z^{-1})(1-z^{-N}) \mathscr{Z}[ \dfrac{G_{0}(s)}{s}]\quad N= \dfrac{\tau}{T} \end{align}$$ 再写为控制算法的形式： $$\begin{align} G_{m}(z)=\dfrac{Q(z)}{U(z)}\; {\color{red}\Rightarrow} \; q(k)=\mathscr{Z}^{-1} \left[ G_{m}(z)U(z) \right] \end{align}$$ > [!important] > > 千万要注意题目的表达 ! 不要被符号搞混了 > 要注意给的被控对象可能直接写为 $G_{0}(s)$ , 要把其中的纯滞后提出来！ $$\begin{align} e^{ -\tau s }\approx \dfrac{1- \dfrac{1}{2}\tau s+\dfrac{1}{8}\tau^{2}s^{2}}{1+ \dfrac{1}{2}\tau s+\dfrac{1}{8}\tau^{2}s^{2}} \end{align}$$