Discrete-time PID Controller 离散 PID 控制器
一、数字 PID 算法
已知连续时间的 PID 控制，拉普拉斯变换得到：
u(t)=K_{p}\left[e(t)+ \dfrac{1}{T_{i}} \int _{0}^{t} e(\tau)\, d\tau +T_{d}\dfrac{\mathrm{d} e(t)}{\mathrm{d} t} \right] \quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad D(s)=\dfrac{U(s)}{E(s)}= K_{p}(1+\dfrac{1}{T_{i}s}+T_{d}s) \end{align}$$ $$\begin{align} \begin{cases} & u(t) \approx u(k) \\ & e(t)\approx e(k) \\ & \int _{0}^{t} e{ (\tau )}\, d\tau \approx \sum\limits_{j=0}^{k}e(j)T \\ & \dfrac{\mathrm{d} e(t)}{\mathrm{d} t} \approx \dfrac{e(k)-e(k-1)}{T} \end{cases} \end{align}$$ #### 1. 位置式 PID 算法 $$\begin{align} u(k)=K_{p}e(k)+K_{i} \sum\limits_{j=0}^{k} e(j)+K_{d}\left[e(k)-e(k-1)\right] \end{align}$$ - 稳态精度高，直观易于理解 - 计算量大，容易出现积分饱和 #### 2. 增量式 PID 算法 $$\begin{align} \Delta u & =u(k)-u(k-1) \\ & =K_{p}\left[e(k)-e(k-1)\right]+K_{i}e(k)+K_{d}\left[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)\right] \\ & =(K_{p}+K_{i}+K_{d})e(k)-(K_{p}+2K_{d})e(k-1)+K_{d}e(k-2) \end{align}$$ - 节约内存和计算时间；控制量冲击小，能平滑过渡 - 无积分环节积累，可能存在一定误差 #### 3. 一般 PID 算法的离散化 一般常用[[模拟控制器离散化#二、差分变换法\|模拟控制器离散化#二、差分变换法]] ，用后向差分，或双线性差分，并写为控制器的形式 ### 二、改进的数字 PID 算法  #### 1. 积分分离算法 在系统误差较大时，取消积分作用；当误差减小到一定值时，再重新积分。$e_{0}$ 为积分分离阈值 $\left\lvert e(k) \right\rvert\leq e_{0}$ 采用 PID 控制，保证稳态误差为 0 $\left\lvert e(k) \right\rvert> e_{0}$ 采用 PD 控制，大幅度减小超调量 $$\begin{align} u(k)=K_{p}\left[e(k)+\dfrac{T}{T_{i}} {\color{red}\sum\limits_{i=0}^{k} e(i)}+ \dfrac{T_{d}}{T} \left(e(k)-e(k-1)\right)\right] \end{align}$$ $$\sum\limits_{i=0}^{k} e(i)=\begin{cases} \sum\limits_{i=0}^{k} e(i)\quad \left\lvert e(k) \right\rvert\leq e_{0} \\ \\ \sum\limits_{i=0}^{k-1} e(i)\quad \left\lvert e(k) \right\rvert> e_{0} \end{cases}$$ #### 2. 抗饱和积分算法 输出限幅，输出超限时不积分 $$\sum\limits_{i=0}^{k} e(i)=\begin{cases} \sum\limits_{i=0}^{k} e(i)\quad u_{min}\leq u(k) \leq u_{max}\\ \\ \sum\limits_{i=0}^{k-1} e(i)\quad u_{min}> u(k) \; \text{or}\; u(k)> u_{max} \end{cases}$$ #### 3. 遇限削弱算法 $$\sum\limits_{i=0}^{k} e(i)=\begin{cases} \sum\limits_{i=0}^{k} e(i)\quad \begin{cases} \left\lvert u(k) \right\rvert \leq u_{0} \\ \\ u(k) > u_{0} \; \text{and} \;e(k)<0 \\ \\ u(k)< u_{0} \; \text{and} \;e(k)>0 \end{cases}\\ \\ \sum\limits_{i=0}^{k-1} e(i) \quad \begin{cases} u(k) > u_{0} \; \text{and} \;e(k)>0 \\ \\ u(k)< u_{0} \; \text{and} \;e(k)<0 \end{cases} \\ \end{cases}$$ #### 4. 不完全微分 纯微分环节对噪声很敏感，可以串接一个惯性环节来抑制高频影响 $$\begin{align} G_{f}= \dfrac{1}{T_{f}s+1}=\dfrac{U(s)}{U_{1}(s)}\; {\color{red}\Rightarrow} \; T_{f} \dfrac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t} +u(t)=u_{1}(t)\; {\color{red}\Rightarrow} \; T_{f} \dfrac{u(k)-u(k-1)}{T}+u(k)=u_{1}(k) \end{align}$$ $$\begin{align} u(k)= \dfrac{T_{f}}{T_{f}+T} u(k-1)+\dfrac{T}{T_{f}+T} u_{1}(k) \end{align}$$ #### 5. 微分先行  - **输出量微分：只对输出量进行微分**，避免因给定值变化给控制系统带来超调量过大、调节阀动作剧烈的冲击 - **偏差量微分：对给定值和输出量均微分** #### 6. 带死区的 PID $$\sum\limits_{i=0}^{k} e(i)=\begin{cases} \sum\limits_{i=0}^{k} e(i)\quad \left\lvert e(k) \right\rvert > e_{0} \\ \\ \sum\limits_{i=0}^{k-1} e(i)\quad \left\lvert e(k) \right\rvert\leq e_{0} \end{cases}$$