Lyapunov’s First Method
间接法，利用系统矩阵的特征值或系统状态方程的解来判断系统稳定性。主要针对线性定常系统和非线性不是很严重的系统
一、线性定常系统
1. 1 状态稳定（内部稳定）
在平衡状态渐近稳定
充分必要条件：系统矩阵 A 所有特征值均具有负实部 ∣λI−A∣=0λi<0
1. 2 输出稳定
输出稳定：系统对于有界输入所引起的输出是有界的。
充分必要条件：传递函数的极点均具有负实部 (在 s 左半平面) W(s)=c(sI−A)−1bResi<0
虽然状态矩阵的特征值和传递函数矩阵分母的根（极点）相同，但是传递函数可能出现零极点对消现象，使得状态稳定性和输出稳定性可能不一致。状态不稳定时，可能也会有输出稳定。
二、非线性系统（线性化）
\dot{\mathbf{x}}=f(\mathbf{x}) \quad \Rightarrow \quad \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}_{e},t)+\left. \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \right\rvert_{\mathbf{x}=\mathbf{x}_{e}}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{e})+R(x)
\end{align}$$
$$\begin{align}
\Delta \mathbf{x}=\mathbf{x}-\mathbf{x}_{e}\quad \Rightarrow \quad \Delta \mathbf{\dot{x}}=A\Delta \mathbf{x}
\end{align}$$
1. **确定系统的平衡点**，所有状态变量的导数为零的点，也即联立方程 $\mathbf{0}=f(\mathbf{x})$ 求解
2. 使用[[雅可比矩阵\|雅可比矩阵]]将非线性系统**一次线性化**，得到线性化的状态矩阵 $A$ 表达式
3. 在不同平衡点处，分别代入平衡点，得到对应的状态矩阵 $A$
$$ \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}\quad A= \left. \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \right\rvert_{\mathbf{x}=\mathbf{x}_{e}} $$
线性化后得到特征矩阵，计算矩阵的特征值
1. 所有特征值**均具有负实部**，原非线性系统在**平衡点处渐近稳定**
2. 至少有一个特征值**具有正实部**，原非线性系统**不稳定**
3. 至少有一个特征值为零，不能根据特征矩阵判别原非线性系统的稳定性，只能看高阶导数项（较为复杂，很难判断，最为不利的情况），**无法确定**
在非线性系统稳定性分析存在瓶颈，不建议使用，建议使用[[李雅普诺夫第二法\|李雅普诺夫第二法]]
### 实际例题
$$\begin{cases}
\dot{x}_{1}=x_{1}-x_{1}x_{2} \\
\dot{x}_{2}=-x_{2}+x_{1}x_{2}
\end{cases}$$
平衡点
$$\begin{align}
\begin{cases}
0=x_{1}-x_{1}x_{2} \\
0=-x_{2}+x_{1}x_{2}
\end{cases}
\end{align}\Rightarrow x_{e_{1}}=\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix},x_{e_{2}}=\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$$
$$\begin{align}
A=\begin{pmatrix}
1-x_{2} & -x_{1}\\ x_{2} & -1+x_{1}
\end{pmatrix}
\end{align}\Rightarrow A_{1}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix}\quad A_{2}=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}$$
