Observer 用可测的输入输出“估算”系统内部状态，实现无法直接测量的状态反馈控制。
一、全维观测器
- 对线性定常系统 ，状态观测器存在的充要条件是 的不能观子系统为渐近稳定或完全能观。
- 如果线性定常系统 完全能观，则其状态矢量 可以由输出 和输入 进行重构。
状态观测器方程为:
\mathbf{\dot{\hat{x}}}=({\color{red}A-GC})\hat{\mathbf{x}}+G\mathbf{y}+B\mathbf{u} \end{align}$$ 重点设计误差反馈矩阵 $G$ （实际上和[[极点配置与系统镇定#2. 采用从输出到状态变量导数的反馈\|从输出到状态变量导数的反馈]]类似） **首先要进行能观性判别** 原系统： $$\begin{align} \det \left[ \lambda I-A\right] =f(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_{i})=\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda+a_{0} \end{align}$$ 期望极点系统： $$\begin{align} \det \left[ \lambda I-({\color{red}A-GC})\right] =f^{*}(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_{i}^{*})=\lambda^{n}+a_{n-1}^{*}\lambda^{n-1}+\cdots +a_{1}^{*}\lambda+a_{0}^{*} \end{align}$$ #### 实际例题 试采用**状态观测器**实现状态反馈控制，使闭环系统的极点配置在 $-50,-50$ $$\begin{align} \dot{\mathbf{x}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \mathbf{x}+\begin{pmatrix} 0 \\ 100 \end{pmatrix}\mathbf{u}\quad y=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} \end{align}$$ $$\begin{align} N=\begin{pmatrix} C \\ CA \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} f^{*}(\lambda)=(\lambda+50)^{2}=\lambda^{2}+100\lambda+2500 \end{align}$$ 设反馈增益矩阵 $G=\begin{pmatrix} g_{1}\\ g_{2}\end{pmatrix}$ $$\begin{align} f(\lambda)=\left\lvert \lambda I-(A-GC) \right\rvert=\lambda^{2}+(g_{1}+5)\lambda+5g_{1}+g_{2} \end{align}$$ 对比系数得到：$g_{1}=95\quad g_{2}=2025$，所以 $G=\begin{pmatrix}95\\ 2025\end{pmatrix}$ **状态观测器方程为**：$\mathbf{\dot{\hat{x}}}=({\color{red}A-GC})\hat{\mathbf{x}}+G\mathbf{y}+B\mathbf{u}$ > [!important] 注意 > > 1. 首先要判断系统的能观性 > 2. 求出反馈增益矩阵 $G$ 后，还要写出状态观测器的方程 ### 二、降维观测器 如果系统能观，输出矩阵的秩为 $m$，则 $m$ 个状态分量可以直接由 $\mathbf{y}$ 直接获得，则剩余 $n-m$ 个状态变量使用 $n-m$ 维的降维观测器进行重构。 ### 三、状态观测器实现状态反馈的系统 1. 状态反馈矩阵 $K$ 和观测器反馈矩阵 $G$ 可以分别进行设计。称为**闭环极点设计的分离性** 2. 观测器构成的状态反馈和状态直接反馈系统**具有相同的传递函数矩阵**。 ### 四、状态观测器的扩展 [[卡尔曼滤波\|卡尔曼滤波]]