线性定常系统的差分方程求解

差分方程 非齐次线性定常前向差分方程、非齐次线性定常后向差分方程

基本步骤

设离散系统的输入为 $e(k)$，输出为 $u(k)$，（此时采样周期为 1 ，则 $t=kT\Rightarrow k$）

1. 将差分方程进行 z 变换
2. 利用线性或时间平移等 z 变换的性质得到输出离散序列的 z 变换 $U(z)$
3. 对 $U(z)$ 进行 z 反变换，得到差分方程的解 $u(k)$

& \sum\limits_{j=0}^{n} a_{j}u(k-j) =\sum\limits_{i=0}^{m} b_{i} e(k-i) \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & \sum\limits_{j=0}^{n} a_{j}z^{-j}U(z)=\sum\limits_{i=0}^{m} b_{i}z^{-i} E(z) \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & U(z)= \dfrac{\sum\limits_{i=0}^{m} b_{i}z^{-i} }{\sum\limits_{j=0}^{n} a_{j}z^{-j}}E(z) \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & u(k)=\mathscr{Z}^{-1}[U(z)] \end{align}$$ ### 实际例子 $u(k)+au(k-1)=e(k),e(k)=1(k),u(k)=0(k\leq-1)$, 求输出 $u(k)$ $$\begin{align} & U(z)+az^{-1}[U(z)+u(-1)]=E(z) \\ \quad \Rightarrow \quad & U(z)= \dfrac{1}{1+az^{-1}} E(z)=\dfrac{1}{1+az^{-1} } \dfrac{1}{1-z^{-1}} \\ \quad \Rightarrow \quad & \dfrac{U(z)}{z}= \dfrac{z}{(z+a)(z-1)}= \dfrac{a}{a+1} \dfrac{1}{z+a}+ \dfrac{1}{a+1} \dfrac{1}{z-1}\\ \quad \Rightarrow \quad & u(k)=\dfrac{a}{a+1} (-a)^{k}+ \dfrac{1}{a+1}1(k) \end{align}$$ $$\begin{align} y(k+2)-1.2(k+1)+0.32y(k)=1.2u(k+1)\quad y(0)=1,y(1)=2.4 ,u(0)=1 \end{align}$$ $$\begin{align} & z^{2}\left[Y(z)-y(0)-y(1)z^{-1}\right]-1.2z\left[Y(z)-y(0)\right]+0.32Y(z)=1.2z\left[U(z)-u(0)\right] \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; &(z^{2}-1.2z+0.32)Y(z)-z^{2}-2.4z+1.2z=1.2zU(z)-1.2z \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & Y(z)=\dfrac{1.2zU(z)}{z^{2}-1.2z+0.32 } +\dfrac{ z^{2}}{z^{2}-1.2z+0.32} \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & y(k)=\mathscr{Z}^{-1} \left[Y(z) \right] \end{align}$$ $$\begin{align} y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=u(k) \end{align}$$ $$\begin{align} & Y(z)-5z^{-1}Y(z)+6z^{-2}Y(z)=U(z) \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & Y(z)=\dfrac{z^{2}}{z^{2}-5z+6} \times \dfrac{z}{z-1}=\dfrac{z^{3}}{(z-2)(z-3)(z-1)} \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & \dfrac{Y(z)}{z}=\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{z-1}-4 \dfrac{1}{z-2}+\dfrac{9}{2} \dfrac{1}{z-3} \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & y(k)= \dfrac{1}{2}-4\cdot2^{k}+ \dfrac{9}{2}\cdot3^{k} \end{align}$$