Indefinite Integral
一、基本定义及性质
基本定义
在区间 上，可导函数 的导函数为 ，则称 为 在区间 上的原函数
原函数存在定理：连续函数一定有原函数
F'(x)=f(x) & \leftrightarrow \mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x \quad \quad \int f(x) \, \mathrm{d}x=F(x)+C \end{align}$$ #### 基本性质 满足[[线性变换\|叠加原理]]： $$\begin{align} \int \left[f(x)+g(x)\right]\; \mathrm{d}x =\int f(x)\; \mathrm{d}x+\int g(x)\; \mathrm{d}x \quad \quad \int kf(x)\;\mathrm{d}x =k \int f(x)\; \mathrm{d}x \end{align}$$ ### 二、积分表 1. 基础公式直接来源于初等函数的积分，与[[导数#基础导数公式😍\|基础导数公式]]相互变换 2. 还有部分需要记忆的公式来自于[[换元积分法\|换元积分法]] #### 基础公式 $$\begin{align} & \int k\, dx =kx+C \\ & \int x^{\mu}\, dx = \frac{1}{\mu+1} x^{\mu+1}+C \\ & \int e^{ x }\, dx =e^{ x }+C \\ & \int a^{x}\, dx =\dfrac{1}{\ln a}a^{x}+C \\ & \int \dfrac{1}{x}\, dx =\ln |x|+C \\ & \int \dfrac{1}{1+x^{2}}\, dx =\arctan x+C \\ & \int \dfrac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }}\, dx =\arcsin x+C \\ & \int \cos x\, dx =\sin x+C \\ & \int \sin x\, dx =-\cos x+C \\ & \int \dfrac{1}{\cos^{2} x}\, dx =\int \sec ^{2} x\, dx =\tan x+C \\ & \int \dfrac{1}{\sin ^{2}x}\, dx =\int \csc ^{2}x \, dx =-\cot x+C \\ & \int \sec x\tan x\, dx =\sec x+C \\ & \int \csc x\cot x\, dx =-\csc x+C \\ \end{align}$$ #### 由第一类换元法扩展 [[换元积分法#第一类换元法\|换元积分法#第一类换元法]] $$\begin{align} & \int \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\; \mathrm{d}x=\dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a}+C \\ & \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ a^{2}-x^{2} }} =\arcsin \dfrac{x}{a}+C \\ & \int \dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}\, dx =\dfrac{1}{2a}\ln | \dfrac{x-a }{x+a}|+C \\ & \int \tan x\, dx =-\ln |\cos x|+C \\ & \int \cot x\, dx =\ln |\sin x|+C \\ & \int \sec x\, dx =\ln |\sec x+\tan x|+C \\ & \int \csc x\, dx =\ln |\csc x-\cot x|+C \\ \end{align}$$ #### 由第二类换元法扩展 [[换元积分法#第二类换元法\|换元积分法#第二类换元法]] $$\begin{align} & \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ x^{2}+a^{2} }}=\ln (x+\sqrt{ x^{2}+a^{2} })+C \\ & \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ x^{2}-a^{2} }} =\ln \left\lvert x+\sqrt{ x^{2}-a^{2} } \right\rvert +C_{1} \end{align}$$