二维连续概率密度

Bivariate continuous probability density

二维连续型随机变量的概率密度函数

一、联合概率密度

Joint Probability Density

联合分布函数：

F(x,y)=\int _{-\infty}^{y} \int _{-\infty}^{x} f(u,v)\, du \, dv \end{align}$$ 则 $f(x,y)$ 为联合概率密度 #### 基本性质 1. **非负性**：$f(x,y)\geq 0$ 2. **归一性**： $$F(\infty,\infty)=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(u,v)\, du \, dv=1$$ 3. 若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 连续，有： $$\dfrac{ \partial^{2} F(x,y) }{ \partial x \;\partial y}=f(x,y)$$ 4. $G$ 为平面上的一个区域，点 $(X,Y)$ 落在 $G$ 内的概率为： $$\begin{align} P\left\{(X,Y) \in G \right\}=\iint \limits_{G} f(x,y) \, dx dy \end{align}$$ >就是求在区域上的[[二重积分\|二重积分]] #### 例题 二维随机变量 $(X,Y)$ 的密度函数为： $$f(x,y)=\begin{cases} c e^{ -(3x+4y) } & x>0,y>0 \\ \\ \quad \quad 0 & 其他 \end{cases}$$ 求 $P\left\{X+Y \right\}\geq 1$ 的概率 $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty}\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y) \, dx \, dy&=c\int _{0}^{+\infty} \int _{0}^{+\infty} e^{-(3x+4y) }\, dx \, dy \\ &=c \int _{0}^{+\infty}e^{ -3x }dx \int _{0}^{+\infty}e^{ -4y }dy \\ &=\dfrac{c}{12}=1 \quad \Rightarrow c=12 \end{align}$$ $$\begin{align} P\left\{X+Y \geq 1\right\}&=\iint \limits_{x+y\geq 1} f(x,y)dxdy \\ &=12 \int _{0}^{1} dx\int _{1-x}^{+\infty}e^{ -(3x+4y) }dy \\ &\quad \quad + 12\int _{1}^{+\infty} dx\int _{0}^{+\infty}e^{ -(3x+4y) }dy \\ &=4e^{ -3 }-3e^{ -4 } \end{align}$$ $$\begin{align} \iint \limits_{x+y\geq 1} f(x,y)dxdy = \int _{0}^{1} 12\,dx\int _{1-x}^{+\infty}e^{ -(3x+4y) }dy + \int _{1}^{+\infty} 12\,dx\int _{0}^{+\infty}e^{ -(3x+4y) }dy \end{align}$$  >[!important] 重要 > > 一定要注意积分的上下限！ ### 二、边缘概率密度 **Marginal Probability Density** 由**联合概率密度函数**求 **边缘概率密度函数**： $$\begin{align} f_{X}(x)&=\int _{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\, dy \\ f_{Y}(y)&=\int _{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\, dx \end{align}$$ #### 证明： $$\begin{align} F_{X}(x)&=P\left\{X\leq x \right\} \\ &=\int _{-\infty}^{x} \left[\int _{-\infty}^{+\infty} f(u,y)\, dy \right]\, du \\ f_{X}(x)&=\int _{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\, dy \\ \end{align}$$ $$\begin{align} F_{Y}(y)&=P\left\{Y\leq y \right\} \\ &=\int _{-\infty}^{y} \left[\int _{-\infty}^{+\infty} f(x,v)\, dy \right]\, dv \\ f_{Y}(y)&=\int _{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\, dx \end{align}$$ >[!tip] > >其实很好理解 >求 $x$ 的边缘分布，则与 $y$ 无关，对 $y$ 积分得到 $x$ 的分布 >求 $y$ 的边缘分布则对 $x$ 进行积分  ### 三、条件概率密度 **Conditional Probability Density** [[二维分布函数\|条件分布函数]] - $Y=y$ 条件下，$X$ 的条件密度函数： $$\begin{align} F_{X\mid Y}(x\mid y)= \dfrac{f(x,y)}{f_{Y}(y)} \end{align}$$ - $X=x$ 条件下，$Y$ 的条件密度函数： $$\begin{align} F_{Y\mid X}(y\mid x)= \dfrac{f(x,y)}{f_{X}(x)} \end{align}$$ 对任意的 $x$ ,有 $f_{X\mid Y}(x\mid y)\geq 0$ $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} f_{X\mid Y}(x\mid y) \, dx =1 \end{align}$$ #### 证明： $$\begin{align} & \lim\limits_{ \varepsilon \to 0 } P\left\{X\leq x\mid y-\varepsilon<Y\leq y+\varepsilon \right\} \\ = & \lim\limits_{ \varepsilon \to 0 } \dfrac{P\left\{ X\leq x, y-\varepsilon<Y\leq y+\varepsilon\right\}}{P\left\{ y-\varepsilon<Y\leq y+\varepsilon\right\}} \\ = & \lim\limits_{ \varepsilon \to 0 } \dfrac{F(x,y+\varepsilon )-F(x,y-\varepsilon )}{F_{Y}(y+\varepsilon )-F_{Y}(y-\varepsilon )} \\ = & \dfrac{\dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y }}{\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y} F_{Y(y)} } \end{align}$$