Fourier Integral
当 越来越大，取值间隔 越来越小。 时，周期函数变为非周期函数，频谱将在 上连续取值，一个非周期函数将包含所有的频率成分
傅里叶级数的离散求和变为连续函数的积分
一、傅里叶积分公式
由傅里叶级数知：
f(t)=\lim \limits_{T \to +\infty} f_T(t)=\lim\limits_{ T \to +\infty } \left[ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{T} \int _{-T /2}^{T / 2} f_{T}(\tau)e^{ -jn\omega _{0}\tau }\, d\tau \right]e^{ jn\omega _{0}t } \end{align}$$ 将取值间隔 $\omega_{0}$ 记为 $\Delta \omega$，节点 $n\omega_{0}$ 记为 $\omega_{n}$，$T=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}}=\dfrac{2\pi}{\Delta \omega}$ $$\begin{align} f(t)= \dfrac{1}{2\pi} \lim\limits_{ \Delta \omega \to 0 } \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \left[ \int _{-\frac{\pi}{\Delta \omega }}^{\frac{\pi}{\Delta \omega }} f_{T}(\tau)e^{ -jn\omega _{0}\tau }\, d\tau\cdot e^{ jn\omega _{0}t }\right]\Delta \omega \end{align}$$ 为和式的极限，按照积分定义写为傅里叶积分： $$\begin{align} f(t)= \dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty}\left[f(\tau)e^{ -j\omega \tau }d\tau\right]e^{ j\omega t }\, d\omega \end{align}$$ ### 二、傅里叶积分定理 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足条件： 1. 在任意有限区间上满足[[狄利克雷条件\|狄利克雷条件]] 2. 在无限区间上[[绝对可积\|绝对可积]] 则有傅里叶积分公式 #### 1. Fourier 积分的复数形式 **连续点处：** $$\begin{align} f(t)= \dfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{+\infty} \left[\int _{-\infty}^{+\infty} f(\tau)e^{ -j\omega \tau }\, d\tau \right] \, e^{ j\omega t }d\omega \end{align}$$ **间断点处：** $$\begin{align} \dfrac{f(t^{-})+f(t^{+})}{2}=\dfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{+\infty} \left[\int _{-\infty}^{+\infty} f(\tau)e^{ -j\omega \tau }\, d\tau \right] \, e^{ j\omega t }d\omega \end{align}$$ >[!important] > >由此引出[[傅里叶变换\|傅里叶变换]] #### 2. Fourier 积分的三角形式 根据[[欧拉公式\|欧拉公式]]以及[[函数基本性质\|奇偶函数]]积分的性质： $$\begin{align} f(t)&=\dfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{+\infty} \left[\int _{-\infty}^{+\infty} f(\tau)e^{ -j\omega \tau }\, d\tau \right] \, e^{ j\omega t }d\omega \\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{+\infty} \left[\int _{-\infty}^{+\infty} f(\tau)e^{ j\omega (t-\tau)}\, d\tau \right] \, d\omega \\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{+\infty} \left[\int _{-\infty}^{+\infty} f(\tau)(\cos(\omega (t-\tau)+j\sin(\omega (t-\tau)))) d\tau\right] \, d\omega \\ &=\dfrac{1}{\pi}\int _{0}^{+\infty} \left[\int _{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\cos \omega (t-\tau)\, d\tau \right]\, d\omega \end{align}$$ 因为： $\cos \omega(t-\tau)=\cos \omega t\cos \omega \tau+\sin \omega t\sin \omega \tau$ 可以进一步得出： **正弦积分公式**：如果 $f(t)$ 为==奇函数==: $$\begin{align} f(t)=\dfrac{2}{\pi}\int _{0}^{+\infty} \left[ \int _{0}^{+\infty} f(\tau)\sin \omega \tau\, d\tau \right]\sin \omega t \, d\omega \end{align}$$ **余弦积分公式**：如果 $f(t)$ 为==偶函数==: $$\begin{align} f(t)=\dfrac{2}{\pi}\int _{0}^{+\infty} \left[ \int _{0}^{+\infty} f(\tau)\cos\omega \tau\, d\tau \right]\cos\omega t \, d\omega \end{align}$$ >[!important] 注意 > >一定要**区分积分变量** >**也要明确被积函数对于各积分变量的奇偶性** >- 就比如上面的积分公式：对于变量 $\omega$ 而言，外层积分的被积函数的整体的奇偶性只取决于 $\omega$，所以无论 $f(\tau)$ 是何种函数，都可以进行外层积分的奇偶性化简 >- 而对于内层的被积变量 $\tau$, 内层积分的奇偶性也只取决于与 $\tau$ 有关函数的奇偶性 > 进而可以根据 $f(\tau)$ 的奇偶性，细化为正弦积分与余弦积分公式 > #### 例题 **Dirichlet 积分:** $$\begin{align} \int _{0}^{+\infty} \dfrac{\sin \omega t}{\omega }\, d\omega = \dfrac{\pi}{2} \end{align}$$