傅里叶级数

Fourier Series

本质上是函数空间中以三角函数系为基底，来表达函数。将周期函数分解为一系列简单正弦和余弦函数（或复指数函数）之和的数学方法，揭示了周期信号的频率成分

设 $f_T(t)$ 是以 $T$ 为周期的实值函数，且在 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 上满足狄利克雷条件:

• 连续或只有有限个第一类间断点
• 只有有限个极值点 则在 $f_T(t)$ 的连续点处可以表示为无穷级数

一、傅里叶级数的三角形式

对于满足狄利克雷条件的周期函数 $f_T(t)$，其傅里叶级数展开式为：

f_{T}(t)= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}\cos n\omega_{0}t +b_{n}\sin n\omega_{0}t) \end{align}$$ - $\omega_{0} = \dfrac{2\pi}{T}$ 是基波角频率。 - $a_0, a_n, b_n$ 是傅里叶系数，计算公式如下： $$\begin{align} \omega_{0}&= \dfrac{2\pi}{T} \\ a_{n}&=\dfrac{2}{T} \int _{-T/2}^{T/2} f_{T}(t) \cos n\omega _{0}t \, dt \\ b_{n}&= \dfrac{2}{T} \int _{-T/2}^{T/2}f_{T}(t) \sin n\omega _{0}t \, dt \end{align}$$ ### 二、傅里叶级数的复数形式 利用[[欧拉公式\|欧拉公式]] $e^{jx} = \cos x + j\sin x$，傅里叶级数可以表示为更简洁的复数形式： $$\begin{align} f_{T}(t)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{ jn\omega _{0}t } \end{align}$$ 其中 $c_n$ 是复傅里叶系数，计算公式为： $$\begin{align} c_{n}=\dfrac{1}{T} \int _{-T /2}^{T / 2} f_{T}(t)e^{ -jn\omega _{0}t }\, dt \quad (n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots) \end{align}$$ 由傅里叶级数的三角形式和欧拉公式知： $$\begin{align} & \cos(n\omega_{0}t)=\dfrac{1}{2}(e^{jn\omega_{0}t}+e^{-jn\omega_{0}t}) \\ & \sin(n\omega_{0}t)=\dfrac{1}{2i}(e^{jn\omega_{0}t}-e^{-jn\omega_{0}t}) \end{align}$$ $$\begin{align} f_{T}(t)= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} ( \dfrac{a_{n}-jb_{n}}{2} e^{jn\omega_{0}t}+ \dfrac{a_{n}+jb_{n}}{2} e^{-jn\omega_{0}t}) \end{align}$$ 复傅里叶系数与三角形式系数的关系如下： $$c_{0}= \dfrac{a_{0}}{2},c_{n}= \dfrac{a_{n}-jb_{n}}{2},c_{-n}=\dfrac{a_{n}+jb_{n}}{2}$$ ### 三、傅里叶级数的物理意义 在三角形式中，令 ： $$A_{0}= \dfrac{a_{0}}{2},A_{n}=\sqrt{ a_{n}^{2}+b^{2}_{n} },\cos\theta_{n}=\dfrac{a_{n}}{A_{n}},\sin\theta_{n}= -\dfrac{b_{n}}{A_{n}}$$ $$\begin{align} f_{T}(t)&= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}\cos n\omega_{0}t +b_{n}\sin n\omega_{0}t) \\ &=A_{0} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} A_{n} (\cos\theta_{n}\cos n\omega_{0}t -\sin\theta_{n}\sin n \omega_{0}t) \\ &=A_{0} + \sum\limits_{n=0}^{+\infty} A_{n}\cos(n\omega _{0}t+\theta_{n}) \end{align}$$ 傅里叶级数展开说明：周期为 $T$ 的函数 $f_{T}(t)$ 仅包含**离散**的频率成分 如果 $f_{T}(t)$ 为[[信号\|信号]]，那么一个周期为 $T$ 的信号可以被分解为一系列以 $\omega_{0}=\dfrac{2\pi}{T}$ 为间隔的离散频率的[[简谐运动\|简谐波]]之和。 当 $T$ 越来越大，取值间隔 $\omega_{0}=\dfrac{2\pi}{T}$ 越来越小, $T\to \infty$ 时，周期函数变为非周期函数，离散的频率成分变得无限密集，将离散的求和变为连续函数的积分，引出[[傅里叶积分\|傅里叶积分]] ### 四、相关推导 [[傅里叶级数的推导\|傅里叶级数的推导]] ### 正交基展开视角 傅里叶级数可看成在[[正交基\|正交基]]上的展开。为了突出投影结构，下面把常数项直接记为 $a_0$：

f(x)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl(a_k\cos kx+b_k\sin kx\bigr),\qquad 0\le x\le 2\pi.

$$函数族$$

1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\ldots

在 $[0,2\pi]$ 的积分内积下两两正交，且归一化常数为

\int_0^{2\pi}1^2,dx=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 kx,dx=\int_0^{2\pi}\sin^2 kx,dx=\pi\quad(k\ge1).

$$因此标准正交形式是$$

\frac1{\sqrt{2\pi}},\quad \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}},\quad \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}},\quad \frac{\cos2x}{\sqrt{\pi}},\quad \frac{\sin2x}{\sqrt{\pi}},\ldots

$$系数由正交投影给出：$$

a_0=\frac1{2\pi}\int_0

a_k=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(x)\cos kx,dx,\qquad b_k=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(x)\sin kx,dx\quad(k\ge1).

这与有限维正交矩阵中的 $c=Q^{\mathsf T}b$ 是同一件事：乘以某个基方向再取内积，其他正交方向都会消去。 Parseval 等式给出能量守恒：

|f|{L^2}^2=\int_0^{2\pi}|f(x)|^2,dx =2\pi a_0^2+\pi\sum{k=1}^{\infty}(a_k^2+b_k

$$截断和$$

S_N(x)=a_0+\sum_{k=1}^{N}\bigl(a_k\cos kx+b_k\sin kx\bigr)

不是随便截掉高频，而是 $f$ 在这些三角基函数张成的有限维子空间中的 $L^2$ 最佳逼近。 方波是最典型的分段例子。令

f(x)=\begin{cases} 1,&0<x<\pi,\ -1,&\pi<x<2\pi, \end{cases}

并按 $2\pi$ 周期延拓，则余弦系数为零，正弦系数只在奇数项非零：

f(x)=\frac4\pi\left(\sin x+\frac{\sin3x}{3}+\frac{\sin5x}{5}+\cdots\right).

在 $x=\pi/2$ 处代入，得到

\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots.

这就是 $\pi/4$ 的交错奇数倒数展开。 再由 $\|f\|^2=2\pi$ 和 Parseval 等式可得奇数倒数平方和

\sum_{m=0}^{\infty}\frac1{(2m+1)^2}=\frac{\pi

收敛边界也必须写清楚：在连续点，满足常见收敛条件的 Fourier 级数收敛到 $f(x)$；在跳跃点，级数收敛到左右极限的平均值。例如上面的方波在跳跃处给出 $0$，正是 $(-1+1)/2$。在一般 $L^2$ 意义下，Fourier 级数保证能量意义的逼近；这不等于每个函数都能在每一点良好地逐点展开。