分部积分法

Integration By Parts

说明

基于函数乘积的求导法则，来解决特殊的不定积分

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基本思想

\int u \,dv&=uv-\int v\, du \end{align}$$ $$\begin{align} (uv)'&=u'v+uv' \quad \Rightarrow \quad uv'=(uv)'-u'v \end{align}$$ 本质是将乘积的求导法则移项后，两边积分 $$\begin{align} (uv)'&=u'v+uv' \quad \Rightarrow \quad uv'=(uv)'-u'v \end{align}$$ 如果 $uv'$ 的积分较难求出，可以转化为 $uv$ 和 $u'v$ 的积分 - $v$ 原函数易于求得 - $u'v$ 易于积分 ### 实际计算 两个函数乘积的不定积分，求其中一个函数的原函数的优先级： 指数函数/三角函数 > 幂函数 > 对数函数/反三角函数 #### 情形一 对于**指数函数/三角函数**和**幂函数**乘积的积分而言： - 将幂函数作为原函数，可以被求导降幂, 作为 $u$ - 指数函数/三角函数的原函数易于求得，作为 $v\to \; \mathrm{d}v$ #### 情形二 对于**对数函数/反三角函数**和**幂函数**乘积的积分而言： - 对数函数/反三角函数不易求原函数，而求导可以转为幂函数，作为 $u$ - 幂函数的原函数易于求得，作为 $v\to \; \mathrm{d}v$ #### 注意事项 如果一次分部积分无法得到结果，则按照情形一或二**再次分部积分** 注意每次分部积分要**选取同类型的函数**作为 $u$ 或 $v$ 在分部积分的过程中，也要灵活使用[[换元积分法\|换元积分法]]