一、复变函数项级数
复变函数项级数：
\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_{n}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots+f_{n}(z)+\cdots \end{align}$$ **部分和**：$S_{n}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots+f_{n}(z)$ **和**：如果对区域 $D$ 内的一个点 $z_{0}$，极限 $\lim\limits_{ n \to \infty }S_{n}(z_{0})=S(z_{0})$ 存在 $\lim\limits_{ n \to \infty } f_{n}(z_{0})$ 在 $z_{0}$ 处收敛，则 $S(z_{0})$ 称为级数的和 **和函数**：如果级数在区域 $D$ 内处处收敛，则它的和一定是 $z$ 的一个函数 $S(z)$，称为级数的和函数 ### 二、幂级数 参考：实数意义下的[[幂级数\|幂级数]] $$\begin{align} \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots+c_{n}(z-a)^{n}+\cdots \end{align}$$ $$\begin{align} \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n}=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots+c_{n}z^{n}+\cdots \end{align}$$ #### 幂级数的敛散性 **Abel 定理**：如果级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n}$ - 在 $z=z_{0}$ 处收敛，则对于满足$\left\lvert z \right\rvert<\left\lvert z_{0} \right\rvert$ 的 $z$，级数必绝对收敛 - 在 $z=z_{0}$ 处发散，则对于满足$\left\lvert z \right\rvert>\left\lvert z_{0} \right\rvert$ 的 $z$，级数必发散 #### 收敛圆与收敛半径 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$ 收敛范围为：以 $a$ 为中心，[[幂级数\|收敛半径]] $R$ 为半径的圆域，$\left\lvert z-a \right\rvert<R$ **在收敛圆周上的敛散性要具体判断**（不要忘记讨论！） #### 收敛半径的求法 与[[幂级数\|幂级数]]类似，本质还是：**比值审敛法**与**根值审敛法**的应用 $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \left\lvert \dfrac{c_{n+1}}{c_{n}} \right\rvert&=\lambda \neq 0 \quad \Rightarrow \quad R=\dfrac{1}{\lambda} \end{align}$$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ \left\lvert c_{n} \right\rvert }&=\lambda \neq 0 \quad \Rightarrow \quad R= \dfrac{1}{\lambda} \end{align}$$ $R$ 为收敛半径 但是也要注意定理的来源，其实还是转化为了[[常数项级数审敛法\|常数项级数审敛法]]的敛散性判断 $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \left\lvert \dfrac{c_{n+1}z^{n+1}}{c_{n}z^{n}} \right\rvert&=\lim\limits_{ n \to \infty } \left\lvert \dfrac{c_{n+1}}{c_{n}} \right\rvert \left\lvert z \right\rvert<1 \\ \left\lvert \dfrac{c_{n+1}}{c_{n}} \right\rvert&=\lambda \\ \left\lvert z \right\rvert& < \dfrac{1}{\lambda}=R \end{align}$$ 注意区分**系数**和展开的**幂**，**收敛半径**是通过**系数**定义的 - > $c_{n}$ 为与 $n$ 有关的系数 - > $z^{n}\quad(z-a)^{n}$ 为在某点展开的幂 >注意|**绝对值符号**|，因为 Abel 定理保证函数项级数不仅是收敛的，而且是绝对收敛的 > 而且如果系数为复数，也便于求模，来求收敛半径 ### 三、幂级数的运算及性质 #### 有理运算 $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n}$，收敛半径 $R=r_{1}$ $g(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n}$，收敛半径 $R=r_{2}$ $f(z)\pm g(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_{n}\pm b_{n})z^{n}$ $f(z)g(z)=\sum\limits_{i=0}^{n} (a_{i}b_{n-i})z^{n}$ $R=min(r_{1},r_{2})$ #### 代数复合运算 当 $\left\lvert z \right\rvert<r$ 时 $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 当 $\left\lvert z \right\rvert<R$ 内 $g(z)$ 解析，且 $\left\lvert g(z) \right\rvert<r$ 则当 $\left\lvert z \right\rvert<R$ 时： $$\begin{align} f[g(z)]=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}[g(z)]^{n} \end{align}$$ 常应用于将函数展开成幂级数 ### 四、在收敛圆内的性质 幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}$ 的收敛半径为 $R$，收敛圆 $|z-a|<R$ 和函数 $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$ 是收敛圆 $|z-a|<R$ 内的[[解析\|解析]]函数 在收敛圆内可以**逐项求导** $$f'(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}nc_{n}(z-a)^{n-1}$$ 在收敛圆内可以**逐项求积分** $$\int _{a}^{z} f(\zeta)\, d\zeta=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n+1}(z-a)^{n+1}$$ >[!important] 注意 > >注意，积分限从圆心处开始，积分下限为圆心 ### 五、求解和函数 > [!question] > > 求级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(2^{n}-1)z^{n-1}$ 的收敛半径与和函数\lim\limits_{ n \to \infty } \left\lvert \dfrac{2^{n+1}-1}{2^{n}-1} \right\rvert=2 ;; {\color{red}\Rightarrow} ;; R=\dfrac{1}{2}
所以收敛半径为 $R=\dfrac{1}{2}$，当 $\left\lvert z \right\rvert< \dfrac{1}{2}$ 时，$\left\lvert 2z \right\rvert<1$\sum\limits_{n=1}^{\infty}z^{n-1}=\dfrac{1}{1-z}\quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^{n}z^{n-1}=2\sum\limits_{n=1}^{\infty}(2z)^{n-1}=2\cdot \dfrac{1}{1-2z}
所以原级数： $$\begin{align} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(2^{n}-1)z^{n-1}&=\dfrac{2}{1-2z}- \dfrac{1}{1-z} =\dfrac{1}{(1-2z)(1-z)} \end{align}$$ > [!question] > > 求级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)z^{n}$ 的收敛半径与和函数\lim\limits_{ n \to \infty }\left\lvert \dfrac{n+2}{n+1} \right\rvert=1 ;; {\color{red}\Rightarrow} ;; R=1
所以收敛半径 $R=1$ 在收敛圆内可以逐项积分和求导 $$\begin{align} \int _{0}^{z} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)z^{n}\, dz=\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n+1}=\dfrac{z}{1-z} \\ \end{align}$$ $$\begin{align} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)z^{n}=(\dfrac{z}{1-z})' \end{align}$$