对数函数

Logarithmic Functions

指数函数的反函数

一、实数意义

\log_{b}(a)=c \leftrightarrow b^{c}=a \end{align}$$ $\log_{b}1=0$ 恒过 $(1,0)$ $$\begin{align} \log_{b}(xy)=\log_{b}x+\log_{b}y \\ \log_{b}(x/ y)=\log_{b}x-\log_{b}y \end{align}$$ 换底公式： $$\begin{align} \log_{c}a^{x}=\log_{c}b \quad \log_{a}b \log_{c}a=\log_{c}b \end{align}$$ $$\begin{align} \log_{b}a=\dfrac{\log_{c}a}{\log_{c}b} \quad \log_{a}b\cdot \log_{b}a=1\quad \log_{a^{n}}b^{m}=\dfrac{m}{n} \log_{a}b \end{align}$$ #### 对数分度 **Logarithmic Scale** [[对数函数\|对数]]变换，能够在较大范围频率范围内反映频率特性的变化 **适用于指数和倍数关系** **广义线性性质**：在对数尺度上进行加法运算相当于在原始值上进行乘法运算 **适用于宽范围数据**：展示宽范围数据的变化情况，在数据的取值范围很大时显示数据的趋势 **减小数值差异**：大数值和小数值的差异会得到相对压缩，使得数据的变化更加平稳 [[熵\|熵]] [[Bode 图\|Bode 图]] ### 二、复数意义 指数函数 $z=e^{ w }$ 的反函数： $w=f(z)$ 为对数函数 [[复数\|复数的指数表示]]： $$\begin{align} z&=|z|e^{ iArg(z) }=e^{ \omega } \quad \quad \omega =\ln |z|+i Arg(z)=Lnz \end{align}$$ $Ln z=\ln |z|+iArg\,z$ $Lnz$ 的主值：$\ln z=\ln |z|+i\,arg\,z$ #### 基本性质 **多值性**：$Arg(z)$ 为多值函数, 所以 $Lnz$ 也为多值函数，每两值相差 $2\pi i$ 的整数倍 $Lnz=\ln z+2k\pi i$, 每一个值 $k$ 对应一个单值函数，称为 **分支** **基本运算**：实际上是辐角的性质，是集合意义上的相等 $$\begin{align} Ln \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=Ln\,z_{1}-Ln\,z_{2} \\ Ln (z_{1}\cdot z_{2})=Ln\, z_{1}+Ln\, z_{2} \end{align}$$ >[!important] 注意 > > 对数的基本性质是：集合意义上的相等，也即: $k=k_{1}+k_{2}\quad k,k_{1},k_{2}\in Z$ >一般而言，对 $z$ 的幂次取对数不等同于幂次乘以 $z$ 的对数，$Ln(z^{m})\neq mLn(z)$ 例子： $Ln(z)^{2}\neq 2Lnz$ $Ln(z)^{2}=2\ln \left\lvert z \right\rvert+i( 2arg \angle z+2k\pi)$ $2Ln z=2\ln \left\lvert z \right\rvert+2i( arg \angle z+2k\pi)$ **导数及解析性**：除去负实轴及原点的复平面（幅角定义导致）处处连续，处处可导，处处解析 $$\begin{align} (Ln z)'= \dfrac{1}{z}\quad \quad (\ln z)'= \dfrac{1}{\dfrac{\mathrm{d} e^{ w }}{\mathrm{d} w} }= \dfrac{1}{z} \end{align}$$