一、基本概念
常数项级数：无穷个实数的和（ 为级数的通项/一般项）
\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+\cdots \end{align}$$ **部分和数列**：常数项级数的前 $n$ 项和（级数的收敛与数列的收敛本质是一回事） $$\begin{align} & S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \end{align}$$ ### 二、常数项级数收敛的判断 级数收敛的充分必要条件： - 如果部分和数列 $\left\{S_{n} \right\}$ 收敛于有限数 $S$, 则称级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}$ **收敛** - 如果部分和数列 $\left\{S_{n} \right\}$ 发散，则称级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}$ **发散** 级数收敛的**必要条件**：级数收敛，则其通项构成的数列 $\left\{x_{n} \right\}$ 是无穷小量 $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } x_{n}=0 \end{align}$$ 千万注意，这只能用来初步判定（如果通项极限不为 0，则一定发散），但是不能用来确定是否能够收敛（例如 $\lim\limits_{ n \to \infty } \dfrac{1}{n}=0$，而级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ 发散），更多的是使用[[常数项级数审敛法\|常数项级数审敛法]]，或者直接与特殊的已知敛散性的级数进行比较判断。 ### 三、收敛级数的基本性质 **线性性质** $$\begin{align} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}=A\quad \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}=B\quad \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha a_{n}\pm\beta b_{n})=\alpha A\pm\beta B \end{align}$$ 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 如果级数收敛，则对此级数的项任意加括号所形成的级数仍然收敛，且和不变。 ### 四、特殊的常数项级数 #### 1. 等比级数/几何级数 $$\begin{align} \sum\limits_{n=1}^{\infty}q^{n-1}=1+q+q^{2}+\cdots+q^{n}+\cdots \end{align}$$ 收敛性的判断来自于[[常数项级数\|常数项级数]]收敛的定义：部分和数列极限存在 部分和数列通项：$S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}q^{k-1}=\dfrac{1-q^{n}}{1-q}$ - 当 $|q|<1$ 时，$\lim\limits_{ n \to \infty }S_{n}=\dfrac{1}{1-q}$，级数收敛 - 当 $|q|\geq 1$ 时，级数发散 #### 2. P 级数 $$\begin{align} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}} \end{align}$$ - 当 $p>1$ 时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}}$ ==收敛== - 当 $p\leq1$ 时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}}$ ==发散==，当 $p=1$ 时，为**调和级数** $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ 发散