Constant-Coefficient Differential Equation
未知函数的各阶导数都由常数系数乘以的线性组合构成的微分方程
从二阶微分方程开始讨论，然后扩展到高阶微分方程。
一、常系数齐次线性微分方程
二阶
y''+py'+qy=0 \end{align}$$ 当 $r$ 为常数时，$y=e^{rx}$ 的各阶导数都只差常数因子 $y'=(e^{rx})'=re^{rx}$ $y''=(e^{rx})''=(re^{rx})'=r^{2}e^{rx}$ 代入微分方程得到特征方程：$r ^{2}+pr+q=0$ 由[[一元二次方程\|一元二次方程]]知判别式为：$\Delta=p^{2}-4q$ | 判别式 | 根的情况 | 对应通解 | | ---------- | ------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------- | | $\Delta>0$ | 两不等实根<br>$r=\dfrac{-p\pm\sqrt{ \Delta }}{2}$<br> | $y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$ | | $\Delta=0$ | 相等实根<br>$r_{1}=r_{2}=-\dfrac{p}{2}$<br> | $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}$ | | $\Delta<0$ | 共轭复根<br>$r=\alpha\pm\beta i$<br> | $y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x+C_{2}\sin \beta x)$ | #### 高阶 使用微分算子 D表示对 $x$ 的求导运算 $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$， $Dy=\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $$\begin{align} L(D)=D^{n}+p_{1}D^{n-1}+\cdots+p_{n-1}D+p_{n} \end{align}$$ $n$ 阶常系数微分方程： $$\begin{align} L(D)y=(D^{n}+p_{1}D^{n-1}+\cdots+p_{n})y=0 \end{align}$$ 特征方程： $$\begin{align} r^{n}+p_{1}r^{n-1}+\cdots+p_{n-1}r+p_{n}=0 \end{align}$$ | 根的情况 | 对应通解 | | --------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------ | | 单实根 | $y=Ce^{rx}$ | | $k$ 重实根 | $y=(C_{1}+C_{2}x+\cdots+C_{k}x^{k-1})e^{rx}$ | | 一对共轭复根 | $y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x+C_{2}\sin \beta x)$ | | $k$ 重共轭复根 | $y=e^{\alpha x}[(C_{1}+\cdots+C_{k}x^{k-1})\cos\beta x+(D_{1}+\cdots+D_{k}x^{k-1})\sin \beta x]$ | [[欧拉公式\|欧拉公式]] $$\begin{align} y_{1}&=e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x+i\sin \beta x) \\ y_{2}&=e^{(\alpha-\beta i)x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x-i\sin \beta x) \\ Y_{1}&=\frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})=e^{\alpha x}\cos \beta x \\ Y_{2}&=\frac{1}{2i}(y_{1}-y_{2})=e^{\alpha x}\sin \beta x \\ y&=C_{1}Y_{1}+C_{2}Y_{2}=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x) \end{align}$$ ### 二、常系数非齐次线性微分方程 $$\begin{align} y''+py'+qy=f(x) \end{align}$$ #### 形式一 $$\begin{align} f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x) \end{align}$$ 多项式和指数函数的乘积的导数仍然是多项式和指数函数的乘积 $P_{m}(x)=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_{m}$ $R_{m}(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_{m}$ | $\lambda$ 和特征方程的关系 | 特解形式 | | ----------------------- | ----------------------------------- | | $\lambda$ 不为特征方程的根 | $y^{*}=R_{m}(x)e^{\lambda x}$ | | $\lambda$ 为特征方程的单根 | $y^{*}=xR_{m}(x)e^{\lambda x}$ | | $\lambda$ 为特征方程的 $k$ 重根 | $y^{*}=x^{k} R_{m}(x)e^{\lambda x}$ | #### 形式二 $$\begin{align} f(x)=e^{ \lambda x }\left[P_{l}(x)\cos \omega x+Q_{n}(x)\sin \omega x\right] \end{align}$$ | $\lambda+\omega i$ 和特征方程的关系 | 特解形式 | | -------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------- | | $\lambda+\omega i$ 不为特征方程的根 | $y^* =[R_{m}^{1}\cos \omega x+R_{m}^{2}\cos \omega x]e^{\lambda x}$ <br> | | $\lambda+\omega i$ 为特征方程的单根 | $y^* =x[R_{m}^{1}\cos \omega x+R_{m}^{2}\cos \omega x]e^{\lambda x}$ | | $\lambda+\omega i$ 为特征方程的 $k$ 重根 | $y^* =x^{k}[R_{m}^{1}\cos \omega x+R_{m}^{2}\cos \omega x]e^{\lambda x}$ | --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Constant-Coefficient Differential Equation** 未知函数的各阶导数都由常数系数乘以的线性组合构成的微分方程 从二阶微分方程开始讨论，然后扩展到高阶微分方程。 ### 一、常系数齐次线性微分方程 #### 二阶 $$\begin{align} y''+py'+qy=0 \end{align}$$ 当 $r$ 为常数时，$y=e^{rx}$ 的各阶导数都只差常数因子 $y'=(e^{rx})'=re^{rx}$ $y''=(e^{rx})''=(re^{rx})'=r^{2}e^{rx}$ 代入微分方程得到特征方程：$r ^{2}+pr+q=0$ 由[[一元二次方程\|一元二次方程]]知判别式为：$\Delta=p^{2}-4q$ | 判别式 | 根的情况 | 对应通解 | | ---------- | ------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------- | | $\Delta>0$ | 两不等实根<br>$r=\dfrac{-p\pm\sqrt{ \Delta }}{2}$<br> | $y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$ | | $\Delta=0$ | 相等实根<br>$r_{1}=r_{2}=-\dfrac{p}{2}$<br> | $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}$ | | $\Delta<0$ | 共轭复根<br>$r=\alpha\pm\beta i$<br> | $y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x+C_{2}\sin \beta x)$ | #### 高阶 使用微分算子 D表示对 $x$ 的求导运算 $\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$， $Dy=\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $$\begin{align} L(D)=D^{n}+p_{1}D^{n-1}+\cdots+p_{n-1}D+p_{n} \end{align}$$ $n$ 阶常系数微分方程： $$\begin{align} L(D)y=(D^{n}+p_{1}D^{n-1}+\cdots+p_{n})y=0 \end{align}$$ 特征方程： $$\begin{align} r^{n}+p_{1}r^{n-1}+\cdots+p_{n-1}r+p_{n}=0 \end{align}$$ | 根的情况 | 对应通解 | | --------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------ | | 单实根 | $y=Ce^{rx}$ | | $k$ 重实根 | $y=(C_{1}+C_{2}x+\cdots+C_{k}x^{k-1})e^{rx}$ | | 一对共轭复根 | $y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x+C_{2}\sin \beta x)$ | | $k$ 重共轭复根 | $y=e^{\alpha x}[(C_{1}+\cdots+C_{k}x^{k-1})\cos\beta x+(D_{1}+\cdots+D_{k}x^{k-1})\sin \beta x]$ | [[欧拉公式\|欧拉公式]] $$\begin{align} y_{1}&=e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x+i\sin \beta x) \\ y_{2}&=e^{(\alpha-\beta i)x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x-i\sin \beta x) \\ Y_{1}&=\frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})=e^{\alpha x}\cos \beta x \\ Y_{2}&=\frac{1}{2i}(y_{1}-y_{2})=e^{\alpha x}\sin \beta x \\ y&=C_{1}Y_{1}+C_{2}Y_{2}=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x) \end{align}$$ ### 与一阶线性系统的等价 常系数方程可以从标量形式转成矩阵形式。对u”+Bu’+Cu=0
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u\u’\end{pmatrix},
\mathbf{v}’
\begin{pmatrix}0&1\-C&-B\end{pmatrix}\mathbf{v}.
\lambda
同时也是一阶系统矩阵的特征方程。标量方法中的 $u=e^{\lambda t}$，在线性代数中对应\mathbf{v}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{x}, \qquad A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}.
如果特征值重合且只有一个特征向量，标量方程中的第二个解会出现 $te^{\lambda t}$；矩阵语言中这是 Jordan 块在矩阵指数中产生的多项式因子。 典型的无阻尼方程y”+y=0
有特征根 $\lambda=i,-i$。转成系统后\begin{pmatrix}y\y’\end{pmatrix}’
\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\y’\end{pmatrix},
初值 $(y(0),y'(0))=(1,0)$ 给出\begin{pmatrix}y(t)\y’(t)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\cos t\-\sin t\end{pmatrix},
也就是状态点在圆周上运动。 ### 二、常系数非齐次线性微分方程 $$\begin{align} y''+py'+qy=f(x) \end{align}$$ #### 形式一 $$\begin{align} f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x) \end{align}$$ 多项式和指数函数的乘积的导数仍然是多项式和指数函数的乘积 $P_{m}(x)=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_{m}$ $R_{m}(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_{m}$ | $\lambda$ 和特征方程的关系 | 特解形式 | | ----------------------- | ----------------------------------- | | $\lambda$ 不为特征方程的根 | $y^{*}=R_{m}(x)e^{\lambda x}$ | | $\lambda$ 为特征方程的单根 | $y^{*}=xR_{m}(x)e^{\lambda x}$ | | $\lambda$ 为特征方程的 $k$ 重根 | $y^{*}=x^{k} R_{m}(x)e^{\lambda x}$ | #### 形式二 $$\begin{align} f(x)=e^{ \lambda x }\left[P_{l}(x)\cos \omega x+Q_{n}(x)\sin \omega x\right] \end{align}$$ | $\lambda+\omega i$ 和特征方程的关系 | 特解形式 | | -------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------- | | $\lambda+\omega i$ 不为特征方程的根 | $y^* =[R_{m}^{1}\cos \omega x+R_{m}^{2}\cos \omega x]e^{\lambda x}$ <br> | | $\lambda+\omega i$ 为特征方程的单根 | $y^* =x[R_{m}^{1}\cos \omega x+R_{m}^{2}\cos \omega x]e^{\lambda x}$ | | $\lambda+\omega i$ 为特征方程的 $k$ 重根 | $y^* =x^{k}[R_{m}^{1}\cos \omega x+R_{m}^{2}\cos \omega x]e^{\lambda x}$ |