幂函数

Power Function

复数意义

定义

乘幂的定义： $a^b=e^{Ln(a{)}^b}=e^{bLna}$ （利用指数函数与对数函数进行定义）

性质

多值性：对数函数是多值的，所以乘幂也是多值的 $a^b=e^{bLna}=e^{b[\ln |a|+i(arg(a)+2k\pi )]}$

一般意义下有无数多个值 特殊情况： $b$ 为整数时，具有单一的值 $b$ 为真分数时， $b=\frac{p}{q}p、q互质$ 有 $q$ 个值，$k=0,1,2,\cdots ,q-1$

解析性：$z^n$ 单值解析 $(z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$ $z^{1/n}$ 有 n 个分支，在除去负实轴和原点的复平面解析

$(z^{1/n}{)}^{\prime }=\frac{1}{n}{z}^{1/n-1}$

$b$ 为无理数或复数时，无穷多个值 在除去负实轴和原点的复平面解析 $(z^b{)}^{\prime }=b{z}^{b-1}$

求 $(1+i{)}^{1-i}$ 的函数值及其主值

(1+i)^{1-i}&=e^{ (1-i)Ln(1+i) } \\ &=e^{ (1-i)(\ln \sqrt{ 2 }+i(\pi/4+2k\pi)) } \\ &=e^{ (\ln \sqrt{ 2 }+\pi/4+2k\pi)+ i(\pi/4+2k\pi-\ln \sqrt{ 2 })} \\ &=\sqrt{ 2 }e^{ \pi/4+2k\pi }\left\{\cos(\dfrac{\pi}{4}-\ln \sqrt{ 2 }) +i\sin(\dfrac{\pi}{4}-\ln\sqrt{ 2 })\right\} \end{align}$$ $k=0$ 得主值 >[!important] 注意 > >充分利用定义，将指数分为实部和虚部 >转为指数函数