微分中值定理

Mean Value Theorem for Derivatives

建立了导数和函数之间的关系

通常称导数为 0 的点为 驻点/稳定点/临界点

费马引理 Fermat

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意的 $x\in U(x_0)$ 有 $f(x)\le f(x_0)(或f(x)\ge f(x_0))$ $\Rightarrow$ 那么 $f^{\prime }(x_0)=0$

一、罗尔定理 Rolle

直观理解：如果区间端点的函数值相等，则在区间内部必定可以找到斜率为零的点

如果函数 $f(x)$ 满足：

• 在闭区间 $[a,b]$ 上 连续
• 在开区间 $(a,b)$ 上 可导
• 在区间端点处的函数值相等 $f(a)=f(b)$ $\Rightarrow$ 那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

二、拉格朗日中值定理 Lagrange

直观理解：罗尔定理的一般化，几何意义就是区间内存在一点的切线斜率等于区间端点连线的斜率。

如果函数 $f(x)$ 满足：

• 在闭区间 $[a,b]$ 上 连续
• 在开区间 $(a,b)$ 上 可导 $\Rightarrow$ 那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$, 使得等式成立：

& f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) \end{align}$$ ==微分中值定理/有限增量定理==： 在区间 $\left[x,x+\Delta x\right]$ 上，如果将 $f(x+\Delta x)-f(x)$ 写为 $\Delta y$，定理给出了自变量取得有限增量 $\Delta x$ 时，函数增量 $\Delta y$ 的**准确表达式**： $$\begin{align} \Delta y & =f(x+\Delta x)-f(x) =f'(x+\theta \Delta x)\cdot \Delta x \quad (0<\theta<1) \end{align}$$ 实际上，从数值计算方法的角度看，也是[[龙格-库塔法\|龙格-库塔法]]的核心思想之一 ### 三、柯西中值定理 Cauchy 如果函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 满足： - 在**闭区间** $[a,b]$ 上 **连续** - 在**开区间** $(a,b)$ 上 **可导** - 对任一 $x \in (a,b)$ , $F'(x)\neq 0$ $\Rightarrow$ 那么在 $(a,b)$ 内**至少有一点** $\xi\;(a<\xi<b)$, 使得： $$\begin{align} \dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \end{align}$$ ### 四、微分中值定理的实际应用 **构造辅助函数**，基本思路都是**构造辅助函数**，满足所需的条件 [[定积分\|定积分]] $$\begin{align} F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)\quad \quad f(\xi)= \dfrac{1}{b-a} \int _{a}^{b} f(x)\, dx \end{align}$$