指数分布

Exponential Distribution $X\sim Exp(\lambda )\lambda >0$

\lambda e^{ -\lambda x}= \dfrac{1}{\theta}e^{ - \frac{x}{\theta} }\quad x\geq 0 \\ \\ \quad \quad \quad 0\quad \quad \quad \quad x<0 \end{cases}$$ $$F(x)=\begin{cases} 1-e^{ -\lambda x }\quad x\geq 0 \\ \\ \quad 0\quad \quad \quad x<0 \end{cases}$$ **期望：** $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\theta$ **方差：** $D(X)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}=\theta^{2}$ $$\begin{align} E(X)&=\int _{0}^{+\infty} \lambda x e^{-\lambda x}\, dx \\ &=-\int _{0}^{+\infty}x \, de^{ -\lambda x } \\ &=-(xe^{ -\lambda x })|_{0}^{+\infty}+ \int _{0}^{+\infty} e^{ -\lambda x } dx\\ &=0- \dfrac{1}{\lambda} e^{ -\lambda x }|_{0}^{+\infty} \\ &=\dfrac{1}{\lambda} \end{align}$$ 常用于各种**寿命**的分布的近似 [[排队论\|排队论]] [[可靠性分析\|可靠性分析]] ### 指数分布的无记忆性 指数分布与[[几何分布\|几何分布]]一样具有无记忆性 $$\begin{align} P\left\{X>s+t\mid X>s \right\}=P\left\{X>t \right\} \end{align}$$ 参数 $\lambda$ 与[[泊松分布\|泊松分布]]的 $\lambda$ 可视为同一参数 表示失效率或死亡率，用于近似各种寿命问题