Rational Function
分子和分母都是多项式，将两个多项式的商 称为有理函数/有理分式
一、有理函数的积分
基本思想： 假分式=多项式+真分式=多项式+部分分式之和
二、可化为有理函数的积分
2.1 三角函数换元
令
x=2\arctan u \quad \mathrm{d}x =\dfrac{2}{1+u^{2}} \; \mathrm{d}u \end{align}$$ $$\begin{align} \sin x=2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}=\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{\sec ^{2} \dfrac{x}{2}}=\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \dfrac{x}{2}}=\dfrac{2u}{1+u} \end{align}$$ $$\begin{align} \cos x=\cos^{2} \dfrac{x}{2} -\sin ^{2} \dfrac{x}{2}= \dfrac{1-\tan ^{2} \dfrac{x}{2}}{\sec ^{2} \dfrac{x}{2}}=\dfrac{1-\tan ^{2} \dfrac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \dfrac{x}{2}}=\dfrac{1-u^{2}}{1+u^{2}} \end{align}$$ #### 2.2 去掉根号换元 含有简单根式 $\sqrt[n]{ ax+b }$ 或者 $\sqrt[n]{ \dfrac{ax+b}{cx+d} }$ 可以将简单根式换为 $u$，此变换具有反函数，且反函数为有理函数，可化为有理函数的积分。 ### 三、有理分式的分解 $$\begin{align} Res[f(z),z_{0}]= \dfrac{1}{(m-1)!} \lim\limits_{ z \to z_{0} } \dfrac{\mathrm{d}^{m-1} }{\mathrm{d} z^{m-1}} \left[(z-z_{0})^{m}f(z)\right] \end{align}$$ 有理分式的分解 $f(z)=\dfrac{z^{2}-2z+5}{(z-2)(z^{2}+1)}$ 综合考虑[[留数\|留数]]法和待定系数法 因为分母 $z^{2}+1$ 的可能拆分为 $(z+i)(z-i)$ 如果完全考虑留数法，代入 $i\quad -i$ 到原函数中计算系数可能会很慢，这一部分可以先待定系数，再留数 $f(z)=\dfrac{c_{1}}{z-2}+\dfrac{c_{2}}{z^{2}+1}$ 1. 留数计算 $c_{1}$，$c_{1}=\dfrac{z^{2}-2z+5}{(z^{2}+1)}|_{z=2}=\dfrac{5}{5}=1$ 2. 待定系数求 $c_{2}$， $c_{1}(z^{2}+1)+c_{2}(z-2)=z^{2}-2z+5 \to \quad c_{2}=-2$ 所以：$f(z)= \dfrac{1}{z-2}- \dfrac{2}{z^{2}+1}=\dfrac{1}{z-2}- (\dfrac{c_{3}}{z+i}+\dfrac{c_{4}}{z-i})$ 3. 留数计算 $c_{3},c_{4}$ $c_{3}= \dfrac{2}{z-i}|_{z=-i}=- \dfrac{1}{i}=i$ $c_{4}=\dfrac{2}{z+i}|_{z=i}=\dfrac{1}{i}=-i$ 综上：$f(z)=\dfrac{1}{z-2}-i\left(\dfrac{1}{z+i}-\dfrac{1}{z-i}\right)$