Probability Density Function PDF
F(x)=\int _{-\infty}^{x} f(t) \, dt \end{align}$$ - $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数 在几何上表示一条曲线，称为密度曲线 - $F(x)$ 为连续型随机变量 $X$ 的[[分布函数\|分布函数]] 几何意义为密度曲线下，从 $-\infty$ 到 $x$的面积 随着 $x$ 的改变而改变 **性质：** 1. $f(x)\geq 0$ 2. 归一性 $$\int _{-\infty}^{+\infty}f(x) \, dx=1$$ 一般使用此来计算概率密度中的未知参数 3. 计算在某个区间上的概率 $$P \left\{x_{1}<X\leq x_{2} \right\}=F(x_{2})-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{2}} f(x)\, dx$$ 4. 已知分布函数求概率密度 $f(x)$ 在 $x$ 处[[连续\|连续]]，则 $F'(x)=f(x)$ ### 例题 已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \dfrac{A}{e^{x}+e^{ -x }}\quad (-\infty<x<+\infty)$ 求概率 $P\left\{0<X< \dfrac{1}{2} \ln{3} \right\}$ $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx &=\int _{-\infty}^{+\infty} \dfrac{A}{e^{2x}+1}de^{ x } \\ &=A \arctan e^{ x } \mid _{-\infty}^{+\infty} \\ &= A\cdot \dfrac{\pi}{2}=1 \\ A&= \dfrac{2}{\pi} \\ f(x)&= \dfrac{2}{\pi} \dfrac{1}{e^{ x }+e^{ -x }} \\ F(x)&=\dfrac{2}{\pi} \arctan e^{ x }-0 \\ \\ P\left\{0<X< \dfrac{1}{2} \ln{3} \right\}&=F( \dfrac{1}{2 }\ln 3)-F(0) \\ &=\dfrac{2}{\pi}(\dfrac{\pi}{3}- \dfrac{\pi}{4})= \dfrac{1}{6} \end{align}$$ --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Probability Density Function** PDF $$\begin{align} F(x)=\int _{-\infty}^{x} f(t) \, dt \end{align}$$ - $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数 在几何上表示一条曲线，称为密度曲线 - $F(x)$ 为连续型随机变量 $X$ 的[[分布函数\|分布函数]] 几何意义为密度曲线下，从 $-\infty$ 到 $x$的面积 随着 $x$ 的改变而改变 **性质：** 1. $f(x)\geq 0$ 2. 归一性 $$\int _{-\infty}^{+\infty}f(x) \, dx=1$$ 一般使用此来计算概率密度中的未知参数 3. 计算在某个区间上的概率 $$P \left\{x_{1}<X\leq x_{2} \right\}=F(x_{2})-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{2}} f(x)\, dx$$ 4. 已知分布函数求概率密度 $f(x)$ 在 $x$ 处[[连续\|连续]]，则 $F'(x)=f(x)$ ### 例题 已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \dfrac{A}{e^{x}+e^{ -x }}\quad (-\infty<x<+\infty)$ 求概率 $P\left\{0<X< \dfrac{1}{2} \ln{3} \right\}$ $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx &=\int _{-\infty}^{+\infty} \dfrac{A}{e^{2x}+1}de^{ x } \\ &=A \arctan e^{ x } \mid _{-\infty}^{+\infty} \\ &= A\cdot \dfrac{\pi}{2}=1 \\ A&= \dfrac{2}{\pi} \\ f(x)&= \dfrac{2}{\pi} \dfrac{1}{e^{ x }+e^{ -x }} \\ F(x)&=\dfrac{2}{\pi} \arctan e^{ x }-0 \\ \\ P\left\{0<X< \dfrac{1}{2} \ln{3} \right\}&=F( \dfrac{1}{2 }\ln 3)-F(0) \\ &=\dfrac{2}{\pi}(\dfrac{\pi}{3}- \dfrac{\pi}{4})= \dfrac{1}{6} \end{align}$$ ### 连续分布中的点与区间 概率密度函数 $p(x)$ 描述的是单位长度上的概率强度，而不是单点概率。对连续随机变量 $X$，任意单点都没有面积：P(X=c)=\int_c^c p(x),dx=0.
P(a\le X\le b)=\int_a^b p(x),dx=F(b)-F(a),
其中 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}p(t)\,dt$ 是[[分布函数\|分布函数]]。端点写成 $<$、$\le$ 通常不改变连续分布的结果，因为端点本身的概率为 $0$。 ### 均匀密度例子 若 $X$ 在 $[17,20]$ 上均匀分布，则p(x)= \begin{cases} \dfrac13,&17<x<20,\ 0,&\text{otherwise}, \end{cases} \qquad F(x)=\frac{x-17}{3}\quad(17\le x\le 20).
P(17.5\le X\le 18.5)=\int_{17.5}
区间中点 $m=18.5$ 是均值，并且F(m)=F(18.5)=\frac12,\qquad \sigma^2=\frac{(20-17)
更一般地，若 $X$ 在 $[0,a]$ 上均匀分布，则p(x)=\frac1a,\qquad F(x)=\frac xa,\qquad m=\frac a2,\qquad \sigma^2=\frac{a
### 使用边界 - 必须有 $p(x)\ge 0$，并且 $\int_{-\infty}^{\infty}p(x)\,dx=1$。 - 密度值可以大于 $1$；只要曲线下总面积为 $1$，概率规则仍然成立。 - 已知 $F$ 时，只在 $F$ 可导且连续的点上直接写 $p(x)=F'(x)$；跳跃点对应离散概率，不对应普通连续密度。