矩阵的初等变换

Elementary Matrix Transformations

一、初等变换

初等行变换：只对行进行变换；初等列变换：只对列进行变换

初等变换：初等行变换和初等列变换的统称

• 对换两 行/列，$r_i\leftrightarrow r_j$ $c_i\leftrightarrow c_j$
• 以数 $k$ 乘某一 行/列 中的所有元 $r_i\times k$ $c_i\times k$
• 将某一行/列所有元的 $k$ 倍加到另一 行/列 对应的元上， $r_i+k{r}_j$ $c_i+k{c}_j$

(显然这三种初等变换都是可逆的，且逆变换是同一类型的初等变换。)

矩阵的等价：$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，如果矩阵 $\mathbf{A}$ 经过有限次初等变换得到矩阵 $\mathbf{B}$，称为矩阵 $\mathbf{A}$ 与矩阵 $\mathbf{B}$ 等价

• 反身性：$\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$
• 对称性：若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，则 $\mathbf{B}\sim \mathbf{A}$
• 传递性：若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，$\mathbf{B}\sim \mathbf{C}$，则 $\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$

二、初等变换的意义

非零矩阵 $\to$ 行阶梯形矩阵 $\to$ 行最简形矩阵 $\to$ 标准型

• 行阶梯形矩阵：非零行在零行的上面，非零行的首元所在列在上一行的首元所在列的右边
• 行最简形矩阵：行阶梯形矩阵的非零行的首元为 1，首元所在列的其他元素为 0
• 标准型：对行最简形矩阵施加初等列变换

$A$ 和 $B$ 为 $m\times n$ 阶的矩阵

1. $A$ 经过初等行变换得到 $B$ 的充分必要条件为：存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $PA=B$ 对矩阵 $A$ 施加一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以初等矩阵

2. $A$ 经过初等列变换得到 $B$ 的充分必要条件为：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $AQ=B$ 对矩阵 $A$ 施加一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以初等矩阵

3. $A$ 经过初等变换得到 $B$ 的充分必要条件为：存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 、 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $PAQ=B$

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AI 结构化补充（2026-05-02）

Elementary Matrix Transformations

初等行变换

初等行变换是在矩阵行上执行的三类基本可逆操作：

• 行交换：$R_i\leftrightarrow R_j$。
• 行倍乘：$R_i\leftarrow \alpha R_i$，其中 $\alpha \ne 0$。
• 行倍加：$R_i\leftarrow R_i+\alpha R_j$，其中 $i\ne j$。

在线性方程组中，行表示方程。因此初等行变换是在替换方程列表：交换方程顺序、把一个方程乘以非零常数，或用一个方程加上另一个方程的倍数。只要操作可逆，变换前后的方程组解集相同。

三类操作的可逆性

每一类初等行变换都有同类逆操作。

• 行交换的逆操作仍是交换同两行。
• $R_i\leftarrow \alpha R_i$ 的逆操作是 $R_i\leftarrow {\alpha }^{-1}{R}_i$。
• $R_i\leftarrow R_i+\alpha R_j$ 的逆操作是 $R_i\leftarrow R_i-\alpha R_j$。

非零倍乘条件 $\alpha \ne 0$ 很关键；若把一行乘以 $0$，原方程信息会丢失，不能保持解集。

对应的初等矩阵

对 $m\times n$ 矩阵 $A$ 做一次初等行变换，等价于在左侧乘一个 $m\times m$ 初等矩阵 $E$：

$$A⟼EA.$$

这个初等矩阵可由单位矩阵 $I_m$ 执行同样的行操作得到。

行交换对应置换矩阵；行倍乘对应把单位矩阵某个对角元改为 $\alpha$；行倍加对应在单位矩阵的非对角位置加入 $\alpha$。消元矩阵就是行倍加的一种特殊形式，例如

$$R_i\leftarrow R_i-m{R}_k$$

对应

$$E=I-m{e}_i{e}_k^T.$$

保持解集的条件

对方程组

$$Ax=b$$

保持解集的变换必须同时作用于等号两边：

$$Ax=b⟺EAx=Eb,$$

其中 $E$ 可逆。用增广矩阵写就是

$$[A\mid b]⟼[EA\mid Eb].$$

如果只把 $A$ 变为 $EA$ 而不把 $b$ 变为 $Eb$，就不再是原系统的等价变换。

列变换一般不保持 $Ax=b$ 的原未知量解集，因为列对应变量方向。若对 $A$ 做右乘列变换 $AQ$，需要同时重解释未知量，例如令 $x=Qy$，才可以建立新旧系统之间的关系。

矩阵等价

若矩阵 $A$ 经过有限次初等行变换得到 $B$，则存在可逆矩阵 $P$ 使

$$B=PA.$$

若经过有限次初等列变换得到 $B$，则存在可逆矩阵 $Q$ 使

$$B=AQ.$$

若同时允许行、列初等变换，则有

$$B=PAQ.$$

矩阵等价保留秩等结构量，但不一定保留作为同一方程组时的解集解释。

与消元的关系

高斯消元使用的主要是行倍加：

$$R_i\leftarrow R_i-m_{ik}{R}_k.$$

当主元为零或过小时，还会使用行交换。这些操作都可逆，所以消元后的 $[U\mid c]$ 与原来的 $[A\mid b]$ 表示同一个解集。若把所有行倍加操作写成消元矩阵连乘，就得到矩阵化的消元过程；若再整理其逆矩阵，就得到LU分解中的下三角因子。

Related Concepts

• 消元矩阵 - 行倍加操作的矩阵形式。
• 行交换 - 初等行变换中用于换主元的操作。
• 增广矩阵 - 保证行变换同步作用于系数和右端项。
• 高斯消元 - 由一串初等行变换构成的求解算法。