隐函数

Implicit Function

实质上是方程形式给定的函数

一、隐函数基本概念

显函数： $y=f(x)$ 等号左端是因变量，右端是含有自变量的式子，自变量取定义域内任一值时，能确定对应的函数值。

隐函数： $F(x,y)=0$ 变量 $x,y$ 满足一个方程，当 $x$ 取某区间的任一值时，相应地总有满足此方程的唯一的 $y$ 存在，则说明方程在该区间内确定了一个隐函数。

隐函数求导，仅需方程两边对同一变量求导即可。

特殊：对于幂指函数，先取对数，再在两边对同一变量求导

y=u^{v} \Rightarrow \ln y=v\ln u \Rightarrow \dfrac{1}{y} y'=\dfrac{v}{u}+v'\ln u \Rightarrow y'=u^{v}(\dfrac{v}{u}u'+v'\ln u) \end{align}$$ ### 二、单个方程的情形 > 可以推广，增加变量的个数 **隐函数存在定理 1**：函数 $F(x,y)$ 在点 $P(x_{0},y_{0})$ 的某一邻域内具有连续[[偏导数\|偏导数]]，且 $F(x_{0},y_{0})=0,F_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0$，则方程 $F(x,y)=0$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$，满足条件 $y_{0}=f(x_{0})$，则有： $$\begin{align} F(x,y)=0 \quad\Rightarrow \quad F(x,f(x))\equiv 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial y} \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =0 \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =- \dfrac{F_{x}}{F_{y}} \end{align}$$ **隐函数存在定理 2**：函数 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_{0},y_{0},z_{0})=0,F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) \neq 0$，则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $z=f(x,y)$，满足条件 $z_{0}=f(x_{0},y_{0})$，则有： $$\begin{align} F(x,y,z)=0 \Rightarrow F(x,y,f(x,y))\equiv 0 \Rightarrow F_{x}+F_{z}\dfrac{\partial z}{\partial x}=0,F_{y}+F_{z}\dfrac{\partial z}{\partial y}=0 \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial x}=- \dfrac{F_{x}}{F_{z}}\quad \dfrac{\partial z}{\partial y}=- \dfrac{F_{y}}{F_{z}} \end{align}$$ ### 三、方程组的情形 实际上是[[克拉默法则\|克拉默法则]]求解线性方程组的应用 $$\begin{cases} F(x,y,u,v)=0 \\ \\ G(x,y,u,v)=0 \end{cases}$$ 两个方程，四个未知数，则有两个独立变量，可得到两个独立变量确定的两个函数 $$\begin{cases} F[x,y,u(x,y),v(x,y)]\equiv0 \\ \\ G[x,y,u(x,y),v(x,y)]\equiv0 \end{cases}$$ 两边同时对 $x$ 求导（对 $y$ 求导同理），得到： $$\begin{cases} F_{x}+F_{v}\dfrac{\partial u}{\partial x}+F_{v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=0 \\ \\ G_{x}+G_{u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+G_{v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=0 \end{cases}$$ [[雅可比矩阵\|雅可比行列式]]： $$\begin{align} J=\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \dfrac{\partial F}{\partial u} & \dfrac{\partial F}{\partial v} \\ \dfrac{\partial G}{\partial u} & \dfrac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{vmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial x}=- \dfrac{1}{J} \dfrac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}= -\dfrac{\begin{vmatrix} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{vmatrix}} \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\partial v}{\partial x}=- \dfrac{1}{J} \dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}= -\dfrac{\begin{vmatrix} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{vmatrix}} \end{align}$$ 实际计算过程：确定独立变量和函数的个数，将方程组两边同时对同一元素求导，利用克拉默法则求解偏导数