高阶导数

求高阶导数本质就是利用求导法则多次接连求导数

y''&=\dfrac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} =\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} ) \\ y'''&=\dfrac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{d} x^{3}} =\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\dfrac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} ) \\ \cdots & \cdots \\ y^{(4)}&=\dfrac{\mathrm{d}^{4} y}{\mathrm{d} x^{4}} =\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\dfrac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{d} x^{3}} ) \\ \cdots & \cdots \\ y^{(n)}&=\dfrac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{d} x^{n}} =\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\dfrac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d} x^{n-1}} ) \end{align}$$ ### 一、逐次求导 [[函数\|初等函数]]的高阶导数 $$\begin{align} (e^{ x })^{(n)}&=e^{ x } \\ (\sin x)^{(n)}&=\sin(x+n\cdot \dfrac{\pi}{2}) \\ (\cos x)^{(n)}&=\cos(x+n\cdot \dfrac{\pi}{2}) \\ [\ln(1+x)]^{(n)}&=(-1)^{n-1} \dfrac{(n-1)!}{(1+x)^{n}} \\ (x^{\mu})^{(n)}&=\dfrac{\mu!}{(\mu-n)!} x^{\mu-n} \\ (u\pm v)^{(n)} & =u^{(n)}\pm v^{(n)} \end{align}$$ ### 二、莱布尼茨公式 **Leibniz**：可以借助[[组合数学\|二项式定理]]记忆 $$\begin{align} (uv)^{(n)} & =\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)} \\ & =u^{(n)}v+C_{n}^{1}u^{(n-1)}v'+C_{n}^{2}u^{(n-2)}v''+\cdots+C_{n}^{n} uv^{(n)} \end{align}$$ 实际引用中，一般 $n$ 较大，可以考虑将具有有限次导数的项作为 $v$，无限次导数的项作为 $u$，较好求得结果 $y=x^{2}e^{ 2x }$，将 $v=x^{2},u=e^{ 2x }$ $y^{(20)}=2^{20}e^{ 2x }\cdot x^{2}+C_{20}^{1}\cdot 2^{19}e^{ 2x }\cdot 2x+C_{20}^{2}\cdot 2^{18}e^{ 2x }\cdot 2$