Riesz表示定理

Riesz表示定理，Riesz Representation Theorem Riesz表示定理是Hilbert空间理论中最深刻的定理之一，它建立了Hilbert空间与其对偶空间之间的同构关系。这个定理不仅在泛函分析中有基本重要性，还在量子力学、偏微分方程、信号处理等领域有广泛应用。

一、问题的背景

1.1 对偶空间的概念

定义：赋范线性空间 $X$ 的对偶空间 $X^{\ast }$ 是所有连续线性泛函的集合：

$$X^{\ast }=\{f:X\to \mathbb{C}:f\text{ 是连续线性的}\}$$

范数：对 $f\in X^{\ast }$，定义：

$$\Vert f\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }|f(x)|=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|f(x)|$$

例子：

• 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，每个线性泛函形式为 $f(x)={\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i$
• 在 $C[a,b]$ 中，$I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx$ 是连续线性泛函

1.2 核心问题

问题：给定Hilbert空间 $H$，如何描述其所有连续线性泛函？

在有限维空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中：

• 每个线性泛函 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 形式为 $f(x)=⟨x,y⟩$
• 其中 $y=(f(e_1),\dots ,f(e_n))$，$\{e_i\}$ 是标准基

Riesz表示定理告诉我们：这在无穷维Hilbert空间中也成立！

二、Riesz表示定理的陈述

2.1 定理陈述

定理（Riesz表示定理）：设 $H$ 是Hilbert空间。对每个连续线性泛函 $f\in H^{\ast }$，存在唯一的 $y\in H$ 使得：

$$f(x)=⟨x,y⟩,\forall x\in H$$

且满足：

$$\Vert f\Vert =\Vert y\Vert$$

几何意义：每个连续线性泛函都是**“取内积”**运算。

符号：常用记号 $f=⟨\cdot ,y⟩$ 表示泛函 $f$。

2.2 证明

证明（存在性）：

步骤1：若 $f=0$（零泛函），取 $y=0$，则 $⟨x,0⟩=0=f(x)$，且 $\Vert f\Vert =0=\Vert 0\Vert$。

步骤2：假设 $f\ne 0$。令 $M=\ker f=\{x\in H:f(x)=0\}$。

• $M$ 是闭线性子空间：
  • 线性性：若 $x_1,x_2\in M$，则 $f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)=0$
  • 闭性：$f$ 连续 $⟹M=f^{-1}(\{0\})$ 是闭集

步骤3：取 $z\in M^{\perp }$ 且 $\Vert z\Vert =1$（$z$ 存在因为 $f\ne 0$）。

• 为什么存在？因为 $M\ne H$（$f\ne 0$），故 $M^{\perp }\ne \{0\}$

步骤4：令 $y=\overline{f(z)}z$，验证 $f(x)=⟨x,y⟩$ 对所有 $x\in H$。

对任意 $x\in H$，由投影定理，$x$ 可唯一分解为：

$$x=u+\alpha z,u\in M,\alpha \in \mathbb{C}$$

其中 $\alpha =⟨x,z⟩$（因为 $z\perp M$）。

计算：

$$f(x)=f(u)+\alpha f(z)=0+\alpha f(z)=⟨x,z⟩f(z)=⟨x,\overline{f(z)}z⟩=⟨x,y⟩$$

步骤5：验证 $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert$。

由Cauchy-Schwarz不等式：

$$|f(x)|=|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert ⟹\Vert f\Vert \le \Vert y\Vert$$

取 $x=y$：

$$|f(y)|=|⟨y,y⟩|=\Vert y{\Vert }^2⟹\Vert f\Vert \ge \frac{|f(y)|}{\Vert y\Vert }=\Vert y\Vert$$

因此 $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert =|f(z)|$。∎

证明（唯一性）：

假设 $y_1,y_2$ 都满足条件：

$$⟨x,y_1⟩=⟨x,y_2⟩,\forall x\in H$$

则：

$$⟨x,y_1-y_2⟩=0,\forall x\in H$$

取 $x=y_1-y_2$，得 $\Vert y_1-y_2{\Vert }^2=0$，故 $y_1=y_2$。∎

三、对偶空间的刻画

3.1 Riesz同构

定理：映射 $\Phi :H\to H^{\ast }$ 定义为：

$$\Phi (y)=⟨\cdot ,y⟩$$

是共轭线性等距同构。

性质：

1. 共轭线性：$\Phi (\alpha y_1+\beta y_2)=\overline{\alpha }\Phi (y_1)+\overline{\beta }\Phi (y_2)$
2. 等距：$\Vert \Phi (y)\Vert =\Vert y\Vert$
3. 满射：对任意 $f\in H^{\ast }$，存在 $y\in H$ 使得 $f=\Phi (y)$
4. 双射：由唯一性保证

注：共轭线性是因为：

$$\Phi (\alpha y)(x)=⟨x,\alpha y⟩=\overline{\alpha }⟨x,y⟩=\overline{\alpha }\Phi (y)(x)$$

3.2 Hilbert空间的自反性

推论：Hilbert空间是自反的，即：

$$H^{\ast \ast }\cong H$$

证明：$H^{\ast }\cong H$（共轭线性同构）$⟹H^{\ast \ast }\cong H^{\ast }\cong H$。∎

意义：Hilbert空间的对偶对 $(H^{\ast },H)$ 有完美的对称性。

3.3 与Banach空间的对比

Banach空间：对偶空间 $X^{\ast }$ 通常不同构于 $X$。

例子：

• ${\ell }^1\ne ({\ell }^1{)}^{\ast }={\ell }^{\infty }$（不对等）
• $L^1\ne (L^1{)}^{\ast }=L^{\infty }$（不对等）
• $c_0\ne (c_0{)}^{\ast }={\ell }^1$（不对等）

Hilbert空间：$H^{\ast }\cong H$（完美对应！）

四、应用

4.1 量子力学

量子态的对偶性：

• 刃矢（ket）$|\psi ⟩\in H$：Hilbert空间中的向量
• 刃矢（bra）$⟨\varphi |\in H^{\ast }$：对偶空间中的线性泛函

Dirac记号：

$$⟨\varphi |\psi ⟩=\text{泛函 }⟨\varphi |\text{ 作用在 }|\psi ⟩\text{ 上}$$

Riesz表示定理：

$$⟨\varphi |\in H^{\ast }⟺\exists |\varphi ⟩\in H:⟨\varphi |\psi ⟩=⟨\psi ,\varphi ⟩$$

物理意义：

• $⟨\varphi |\psi ⟩$ 是态 $|\psi ⟩$ 在态 $|\varphi ⟩$ 方向上的”投影幅”
• $|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^2$ 是测量概率

4.2 偏微分方程

弱解：利用Riesz表示定理证明Lax-Milgram定理。

Lax-Milgram定理：设 $a(u,v)$ 是Hilbert空间 $V$ 上的有界双线性形式，满足：

• 有界性：$|a(u,v)|\le C\Vert u\Vert \Vert v\Vert$
• 强制性（椭圆性）：$a(v,v)\ge \alpha \Vert v{\Vert }^2$

则对任意 $f\in V^{\ast }$，存在唯一 $u\in V$ 使得：

$$a(u,v)=f(v),\forall v\in V$$

证明思路：

1. 对固定 $u$，$a(u,\cdot )$ 是连续线性泛函
2. 由Riesz表示定理，存在 $Au\in V$ 使得 $a(u,v)=⟨v,Au⟩$
3. 证明 $A:V\to V$ 是同胚
4. 存在唯一 $u=A^{-1}f$

应用：椭圆型偏微分方程弱解的存在唯一性。

4.3 信号处理

相关函数：对固定信号 $y$，定义泛函：

$$f_y(x)=⟨x,y⟩$$

由Riesz表示定理，所有连续线性泛函都这种形式。

匹配滤波：在噪声中检测信号 $s(t)$，最优滤波器响应为：

$$y(t)=\int x(\tau )\overline{s(t-\tau )}d\tau =⟨x,s⟩$$

这是内积运算！

4.4 最优控制

线性二次调节器（LQR）：最优控制律形式为：

$$u^{\ast }(t)=-R^{-1}{B}^{T}Px(t)$$

其中 $P$ 是Riccati方程的解。这个形式本质上是对偶映射。

4.5 统计学

协方差算子：对随机过程 $\{X_t\}$，定义协方差算子 $C:H\to H$：

$$⟨Cx,y⟩=\mathbb{E}[⟨X,x⟩⟨X,y⟩]$$

这利用了Riesz表示定理将双线性形式转化为算子。

五、推广

5.1 Riesz表示定理（测度论版本）

定理：设 $X$ 是局部紧Hausdorff空间。$C_c(X)$（紧支集连续函数空间）上的正线性泛函 $L$ 可以表示为：

$$L(f)={\int }_{X}f(x)d\mu (x)$$

其中 $\mu$ 是正则Borel测度。

意义：建立了线性泛函与测度之间的对应关系。这是测度论的基础定理。

5.2 Banach空间的表示定理

问题：在一般Banach空间中，对偶空间如何表示？

答案：通常没有像Riesz表示定理这样简洁的表示。

例子：

• $({\ell }^p{)}^{\ast }={\ell }^q$（$1/p+1/q=1$，$1<p<\infty$）
• $(L^p{)}^{\ast }=L^q$（$1/p+1/q=1$，$1<p<\infty$）
• $(C[a,b]{)}^{\ast }=\text{有界变差函数空间}$

这些表示都复杂得多。

5.3 Hahn-Banach定理

定理：设 $M$ 是赋范线性空间 $X$ 的子空间，$f_0\in M^{\ast }$。则 $f_0$ 可以延拓为 $f\in X^{\ast }$ 使得：

$$f{|}_M=f_0,\Vert f\Vert =\Vert f_0\Vert$$

与Riesz表示定理的关系：

• Hahn-Banach：泛函的存在性
• Riesz：Hilbert空间泛函的具体表示

应用：分离定理、凸分析、优化理论。

六、复数与实数情况的区别

6.1 复Hilbert空间

在复Hilbert空间中，Riesz映射 $\Phi :H\to H^{\ast }$ 是共轭线性的：

$$\Phi (\alpha y)=\overline{\alpha }\Phi (y)$$

6.2 实Hilbert空间

在实Hilbert空间中，Riesz映射 $\Phi :H\to H^{\ast }$ 是线性的：

$$\Phi (\alpha y)=\alpha \Phi (y)$$

因此，在实Hilbert空间中，$H$ 与 $H^{\ast }$ 是真正的线性同构。

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参考链接

• Hilbert空间
• 内积
• 投影定理
• 函数空间
• 泛函分析

参考文献

1. Rudin, W. (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill.
2. Reed, M., & Simon, B. (1980). Functional Analysis (Vol. 1). Academic Press.
3. Lax, P. D. (2002). Functional Analysis. Wiley-Interscience.
4. Brezis, H. (2011). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer.
5. Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics (4th ed.). Oxford University Press.