Inverse Z-transform
采样信号 的 z 变换 为：
则 反变换可以记为
一、幂级数展开法
长除法得到洛朗级数
F(z)=\dfrac{b_{0}z^{m}+b_{1}z^{m-1}+\cdots + b_{m}}{a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots + a_{n}}=c_{0}+c_{1}z^{-1}+c_{2}z^{-2}+\cdots \end{align}$$ $$\begin{align} f^{*}(t)=c_{0}+c_{1}\delta(t-T)+c_{2} \delta(t-2T)+\cdots \end{align}$$ ### 二、部分分式法 1. [[z 变换#三、常见函数的 z 变换\|经典信号的 z 变换]]大多带有因子 $z$ ，先除以 $z$ 分解为部分分式 2. 利用[[留数\|留数]]求出部分分式的系数 $c_{i}$ 3. 再乘以 $z$，分别求各个部分的 $z$ 反变换： $$\begin{align} \dfrac{F(z)}{z} =\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{c_{i}}{z-p_{i}} \quad \Leftrightarrow \quad F(z)=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{c_{i}z}{z-p_{i}} \end{align}$$ $$\begin{align} f(kT)=\mathscr{Z}^{-1} \left[ F(z) \right] \quad f^{*}(t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} f(kT)\delta (t-kT) \end{align}$$ $$\begin{align} \mathscr{Z}^{-1}[\dfrac{ 1-az^{-1}}{z^{-1}-a}] & =\mathscr{Z}^{-1}[ -\dfrac{a(z^{-1}- \dfrac{1}{a}+a-a)}{z^{-1}-a} ]=\mathscr{Z}^{-1}[-a+\dfrac{1-a^{2}}{-a(1-\dfrac{1}{a}z^{-1})}] \\ & =-a\delta(k)+(a-\dfrac{1}{a}) (\dfrac{1}{a})^{k}\cdot1(k) \end{align}$$