Lie Algebra

Lie Algebra 李代数 李代数是Lie Group 的切空间，是李群的局部线性近似。通过将李群在单位元附近进行线性化，李代数将复杂的非线性问题转化为相对简单的线性代数问题，是连接李群理论、微分几何和物理学的核心桥梁。 通常写作小写字母，如李代数 $\mathfrak{se}(3)$ 对应于李群的 $SE(3)$。

公理

李代数是一个向量空间 $\mathfrak{g}$，配有一个二元运算 $[\cdot ,\cdot ]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$（李括号），满足：

1. 双线性 (Bilinearity)：$[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z]$
2. 反对称性 (Anti-commutativity)：$[X,X]=0$，从而 $[X,Y]=-[Y,X]$
3. 雅可比恒等式 (Jacobi Identity)：$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$

Important

李括号不要求满足结合律，即 $[[X,Y],Z]$ 不一定等于 $[X,[Y,Z\Vert X,Y],Z]$ 不一定等于 $[X,[Y,Z]]$。雅可比恒等式取代了结合律的地位。

李代数的来源

1. 李群的切空间：任何李群 $G$ 在单位元 $e$ 处的切空间 $T_{e}G$ 都构成李代数 $\mathfrak{g}$，其李括号反映了群乘法的无穷小非交换性。
2. 矩阵交换子：$[A,B]=AB-BA$。根据阿多定理 (Ado’s Theorem)，任何有限维李代数都同构于一个矩阵李代数。
3. 三维向量叉积：${\mathbb{R}}^3$ 配备叉积运算构成李代数，即 $\mathfrak{so}(3)$。

结构概念

• 子代数 (Subalgebra)：对李括号封闭的子空间。
• 理想 (Ideal)：$\forall X\in \mathfrak{i},Y\in \mathfrak{g},[X,Y]\in \mathfrak{i}$。
• 单李代数 (Simple)：没有非平凡理想的非阿贝尔李代数。
• 半单李代数 (Semisimple)：可分解为单李代数的直和。有限维复半单李代数已通过根系和邓肯图完全分类。

\mathfrak{}   \mathfrak{se}

Lie 代数和Lie 群

Lie 群描述全局运动（非线性），李代数描述局部运动（线性）。

• 通过 指数映射（exp） 可以从李代数映射到 Lie 群。
• 通过 对数映射（log） 可以从 Lie 群映射到李代数。

常见 Lie 群的数学推导

Lie 群	群元素形式	李代数	指数映射形式
$SO(2)$	$2\times 2$ 旋转矩阵	$\omega \in \mathbb{R}$	$R=\exp (\hat{\omega }\theta )$
$SO(3)$	$3\times 3$ 旋转矩阵	$\omega \in {\mathbb{R}}^3$	Rodrigues 公式
$SE(2)$	$3\times 3$ 刚体变换矩阵	$[v,\omega ]\in {\mathbb{R}}^3$	平面运动公式
$SE(3)$	$4\times 4$ 刚体变换矩阵	$[v,\omega ]\in {\mathbb{R}}^6$	雅可比矩阵形式
${\mathbb{R}}^n$	向量加法	向量本身	指数映射为恒等映射

1. $SO(2)$：二维平面旋转群

群元素：二维旋转矩阵

$$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

李代数：李代数 $\mathfrak{so}(2)$ 的元素：

$$\hat{\omega }=\left[\begin{array}{cc}0& -\omega \\ \omega & 0\end{array}\right]$$

指数映射：

$$R(\theta )=\exp (\hat{\omega }\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

2. $SO(3)$：三维空间旋转群

群元素：三维旋转矩阵

$$R\in SO(3)\text{满足}{R}^{T}R=I,\det (R)=1$$

李代数：李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 的元素（反对称矩阵）：

$$\hat{\omega }=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right]$$

指数映射（使用 Rodrigues 公式）：

$$R=\exp (\hat{\omega }\theta )=I+\frac{\sin \theta }{\theta }\hat{\omega }+\frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}{\hat{\omega }}^2$$

对数映射：给定旋转矩阵 $R$，其旋转轴 $\omega$ 与旋转角度 $\theta$ 满足：

$$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\text{tr}(R)-1}{2}\right)$$

旋转向量：

$$\omega =\frac{\theta }{2\sin \theta }\left[\begin{array}{c}{R}_{32}-R_{23}\\ R_{13}-R_{31}\\ R_{21}-R_{12}\end{array}\right]$$

3. $SE(2)$：二维刚体运动群

群元素：$R(\theta )$ 为 $SO(2)$ 旋转矩阵，$t\in {\mathbb{R}}^2$ 为平移向量。

$$T=\left[\begin{array}{cc}R(\theta )& t\\ 0& 1\end{array}\right]\in SE(2)$$

李代数：李代数 $\mathfrak{se}(2)$ 的元素：

$${\xi }^{\wedge }=\left[\begin{array}{ccc}0& -\omega & v_x\\ \omega & 0& v_y\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

指数映射：

$$T=\exp ({\xi }^{\wedge })$$

当 $\omega \ne 0$ 时，有：

$$T=\left[\begin{array}{cc}R(\theta )& Vt\\ 0& 1\end{array}\right]$$

其中：

$$V=\frac{1}{\omega }\left[\begin{array}{cc}\sin \omega & -(1-\cos \omega )\\ 1-\cos \omega & \sin \omega \end{array}\right]$$

4. $SE(3)$：三维刚体运动群

群元素：$R\in SO(3)$，$t\in {\mathbb{R}}^3$。

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\in SE(3)$$

李代数： $\mathfrak{se}(3)$ 的元素，$\hat{\omega }\in \mathfrak{so}(3)$，$v\in {\mathbb{R}}^3$

$${\xi }^{\wedge }=\left[\begin{array}{cc}\hat{\omega }& v\\ 0& 0\end{array}\right]$$

指数映射：

$$T=\exp ({\xi }^{\wedge })=\left[\begin{array}{cc}\exp (\hat{\omega })& Jv\\ 0& 1\end{array}\right]$$

其中，$J$ 为平移部分的雅可比矩阵：

$$J=I+\frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}\hat{\omega }+\frac{\theta -\sin \theta }{{\theta }^3}{\hat{\omega }}^2$$

对数映射：给定刚体变换矩阵 $T$，旋转部分用 $R$，平移部分用 $t$

$$\hat{\omega }=\log (R)$$

旋转角度 $\theta$ 同上，计算 $J^{-1}$，得到：

$$v=J^{-1}t$$

5. ${\mathbb{R}}^n$：欧式空间（特殊情况）

当只涉及平移，没有旋转时，李群退化为欧式空间，群运算为向量加法，李代数就是自己。