容量过程建模实例

基本概念

使用机理分析法进行建模。 数学模型: 指过程在各输入量的作用下，其相应输出量变化的函数关系数学表达式。 通道: 输入量与输出量间的信号联系

自衡：对象受到干扰作用后，平衡状态被破坏，无须外加任何控制作用，依靠对象本身自动平衡的倾向，逐渐地达到新的平衡状态的性质，称为平衡能力。

容量 $C$：存储物质和能量的能力。引起单位被控量变化时，被控过程储存量的变化量。（电容、热容、气容、液容…）

阻力 $R$ ：凡是物质和能量的转移，都要克服阻力。（电阻、热阻、气阻、流阻…）

一、单容过程

自衡

\begin{cases} \Delta q-\Delta q_{1}=C \dfrac{\mathrm{d} \Delta h_{1}}{\mathrm{d} t} \\ \Delta q_{1}= \dfrac{\Delta h_{1}}{R_{1}} \end{cases} \, \Rightarrow \, Q(s)=C H_{1}(s)s + \dfrac{1}{R_{1}}H_{1}(s) \,\Rightarrow\, \dfrac{H_{1}(s)}{Q(s)}=\dfrac{R_{1}}{CR_{1}s+1} \end{align}$$ #### 无自衡 抽水泵 $$\begin{align} \begin{cases} \Delta q-\Delta q_{1} = C \dfrac{\mathrm{d} \Delta h_{1}}{\mathrm{d} t} \\ \Delta q_{1}=0 \end{cases} \,\Rightarrow \, Q(s)=CH_{1}(s)s \, \Rightarrow \, \dfrac{H_{1}(s)}{Q(s)}=\dfrac{1}{Cs} \end{align}$$ ### 二、多容过程  #### 独立 也即单容过程的简单组合 $$\begin{align} \begin{cases} \dfrac{H_{1}(s)}{Q(s)}= \dfrac{R_{1}}{C_{1}R_{1}s+1} \\ Q_{1}(s)= \dfrac{H_{1}(s)}{R_{1}}\\ \dfrac{H_{2}(s)}{Q_{1}(s)}= \dfrac{R_{2}}{C_{2}R_{2}s+1} \end{cases} \; {\color{red}\Rightarrow} \; \dfrac{H_{2}(s)}{Q(s)}=\dfrac{H_{2}(s)}{Q_{1}(s)} \dfrac{Q_{1}(s)}{H_{1}(s)} \dfrac{H_{1}(s)}{Q(s)} \end{align}$$ #### 非独立 $$\begin{align} \begin{cases} \Delta q-\Delta q_{1}=C_{1} \dfrac{\mathrm{d} \Delta h_{1}}{\mathrm{d} t} \\ \dfrac{\Delta h_{1}-\Delta h_{2}}{R_{1}}= \Delta q_{1} \end{cases} \,\Rightarrow\, Q(s)=Q_{1}(s)+C_{1} sH(s)\quad Q_{1}(s)=\dfrac{H_{1}(s)-H_{2}(s)}{R_{1}} \end{align}$$ ### 实际的例题（组合）  $$\begin{align} \begin{cases} Q_{1}(s)-Q_{2}(s)-Q_{12}(s)=A_{1}sH_{1}(s) \\ Q_{2}(s)=\dfrac{H_{1}(s)}{R_{2}} \\ Q_{12}(s)=\dfrac{H_{1}(s)-H_{2}(s)}{R_{12}} \\ Q_{12}(s)-Q_{3}(s)=A_{2} sH_{2}(s) \\ Q_{3}(s)= \dfrac{H_{2}(s)}{R_{3}} \end{cases}\; {\color{red}\Rightarrow} \; \end{align}$$