Transfer Function Matrix Realization
多输入多输出系统的能控能观标准型。
Description
状态空间表达式的能控标准型和能观标准型的扩展延伸 传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观的子系统的动力学行为
一、实现的基本概念
系统状态空间方程为：
\dot{\mathbf{x}}(t)&=A \mathbf{x}(t)+ B\mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t)&=C\mathbf{x}(t)+D \mathbf{u}(t) \end{align}$$ 传递矩阵表达式为： $$\begin{align} W(s)=C(sI-A)^{-1}B+D \end{align}$$ 传递函数阵 $W(s)$ 可实现的条件： 1. 矩阵的元的分子分母的**多项式系数均为实常数** 2. 矩阵的元是 $s$ 的**有理分式函数**：分子多项式的次数低于或等于分母多项式的次数 - 低于分母多项式的次数，实现具有 $(A,B,C)$ 的形式 - 等于分母多项式的次数，实现具有 $(A,B,C,D)$ 的形式，$D=\lim\limits_{ s \to \infty } W(s)$ 如果不为严格的真有理分式，可以先计算出 $D$，再寻求 $(A,B,C)$ 的形式的实现 $$\begin{align} W(s)-D=C(sI-A)^{-1}B \end{align}$$ ### 二、能控标准型和能观标准型实现 注意对于多输入多输出系统而言，能控和能观标准型并非是对偶关系（矩阵的维数不同） $$\begin{align} W(s)=\bar{\mathbf{c}}(sI-\bar{A}) ^{-1}\bar{\mathbf{b}} =\dfrac{{\boldsymbol{\beta}}_{{n-1}}{s}^{n-1}+{\boldsymbol{\beta}}_{{n-2}}{s}^{n-2}+\cdots+\boldsymbol{\beta}_{1}s+\boldsymbol{\beta}_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}} \end{align}$$ 输入矢量的维度为 $r$，输出矢量的维度为 $m$，传递函数矩阵正是反映输入到输出的关系，所以为 $m\times r$ 的矩阵（化为能控/能观标准型时，可以考虑选择维度更小的标准型）。 #### 1. 能控标准型 维数：$nr\times nr$ 每一个元都为 $r\times r$ 的矩阵 $$\begin{align} A_{c} & = \begin{pmatrix} \mathbf{0}_{r} & I_{r} & \mathbf{0}_{r} & \cdots & \mathbf{0}_{r} \\ \mathbf{0}_{r} & \mathbf{0}_{r} & I_{r} & \cdots & \mathbf{0}_{r} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0}_{r} & \mathbf{0}_{r} & \mathbf{0}_{r} & \cdots & I_{r} \\ -a_{0}I_{r} & -a_{1}I_{r} & -a_{2}I_{r} & \cdots & -a_{n-1}I_{r} \end{pmatrix} \\ B_{c} & =\begin{pmatrix} \mathbf{0}_{r} \\\mathbf{0}_{r} \\\vdots \\ I_{r} \end{pmatrix}\quad C_{c} =\begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_{0},\boldsymbol{\beta}_{1},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n-1} \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 2. 能观标准型 维数：$nm \times nm$ 每一个元都为 $m\times m$ 的矩阵 $$\begin{align} A_{o} & = \begin{pmatrix} \mathbf{0}_m & \mathbf{0}_m & \cdots & \mathbf{0}_m & -a_{0}I_m \\ I_m & \mathbf{0}_m & \cdots & \mathbf{0}_m & -a_{1}I_m \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \mathbf{0}_m & \mathbf{0}_m & \cdots & I_m & -a_{n-1}I_m\\ \end{pmatrix} \\ B_{o} & =\begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_{0}\\ \boldsymbol{\beta}_{1}\\\vdots\\\boldsymbol{\beta}_{n-1} \end{pmatrix} \quad C_{o}=\begin{pmatrix} \mathbf{0}_m , \mathbf{0}_m ,\cdots , I_m \end{pmatrix} \end{align}$$ ### 三、最小实现 传递函数矩阵只能反映系统中**能控且能观的子系统**的动力学行为，对于一个可实现的传递函数阵而言，有无穷多个状态空间表达式与之对应。 最小实现实际上是对状态空间表达式进行线性系统的结构分解，寻找到能控且能观的子系统表达。 1. 首先将传递函数阵化为可实现的形式 $(A,B,C)$，有理真分式，降幂排列 2. 将系统实现 $(A,B,C)$ 化为[[状态空间表达式的能控标准型和能观标准型\|能控标准型/能观标准型]] 3. 再进行能观/能控性的判断（**对能控标准型进行能观性判断，对能观标准型进行能控性判断**） 如果系统能观/能控，则就为最小实现 如果系统不能观/不能控，就进行[[线性系统的结构分解\|能观/能控的分解]] ### 传递函数零极点对消和能控能观性的关系 ==传递函数分子分母无零极点对消==： 1. **单输入、单输出、单输入单输出系统**：能控能观的**充分必要条件** 2. **多输入多输出系统**：能控能观最小实现的**充分条件**