信号采样

Signal sampling

采样器： 把连续信号变换为脉冲序列 采样器的采样过程可以使用一个周期性闭合的采样开关 $S$ 表示

• $S$ 采样开关
• $e(t)$ 采样器输入信号（连续信号）
• $e^{\ast }(t)$ 采样器输出信号（离散信号） 采样信号
• $T$ 采样周期
• $\tau$ 采样时间

一、采样信号与连续信号的关系

理想单位脉冲序列（理想采样开关）：

\delta_{T}(t)&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT) \end{align}$$ $\delta(t-nT)$ 是出现在时刻 $t=nT$ 强度为 1 的单位[[脉冲函数\|脉冲]] 连续信号在采样的瞬时点 $t=nT$ 为： $e(nT)$ 则采样信号表示为： $$\begin{align} e^{*}(t) =e(t)\delta_{T}(t) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} e(nT)\delta_{T}(t-nT) \end{align}$$ ### 二、采样过程的数学描述 #### 1. 采样信号的拉普拉斯变换 [[拉普拉斯变换#3. 位移性质\|拉普拉斯变换#3. 位移性质]] $$\begin{align} E^{*}(s)&=\mathscr{L}[e^{*}(t)] \\ &=\mathscr{L}\left[ \sum\limits_{n=0}^{\infty}e(nT)\delta_{T}(t-nT) \right] \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} e(nT) \mathscr{L}[\delta_{T}(t-nT)] \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} e(nT) e^{ -nTs } \end{align}$$ #### 2. 采样信号的频谱 [[傅里叶变换\|傅里叶变换]] $$\begin{align} e^{*}(t)&= \dfrac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} e(t)e^{ jn\omega _{s} t } \\ E^{*}(s)&= \dfrac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}E(s+jn\omega _{s}) \\ E^{*}(j\omega )&= \dfrac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}E[j(\omega +n\omega _{s})] \end{align}$$ ### 三、采样周期的选取 #### 香农采样定理 如果采样器的输入信号具有有限[[频带宽度\|带宽]]，并且有直到 $\omega_{h}$ 的频率分量（即最高频率为 $\omega_{h}$） 则使得信号完全从采样信号中恢复过来的采样周期 $T$ 满足：(采样频率 $\omega_{s}\geq 2\omega_{h}$) $$\begin{align} \omega _{s} \geq 2\omega _{h} \quad \Rightarrow \quad T=\dfrac{2\pi}{\omega _{s}} & \leq \dfrac{2\pi}{2\omega _{h}} \end{align}$$ 工程实践中，一般不取等号 - $\omega_{h}$ 为带宽频率 - $\omega_{s}$ 采样角频率 - $T$ 采样周期 采样周期小于最小时间常数的一半，例子： $$\begin{align} \dfrac{1}{(s+1)(s+2)} \quad T_{1}=1, T_{2}= \dfrac{1}{2} \quad T< \dfrac{1}{4} \end{align}$$ 简单理解：就是找频率最高的分量（即最小的时间常数），采样频率大于两倍的最高频率，所以采样周期就小于最小的时间常数的一半 > 非开放题，如果无采样周期，要自己选择合理的采样周期，就要注意采样的限制 > 一般取整数倍，且不要大于纯滞后的延迟时间，**纯滞后的延迟时间一般为采样周期的整数倍** 实际例子：给定以下传递函数，问合适的采样周期是？ $$\begin{align} \dfrac{1}{(5s+1)(10s+1)}e^{ -2s } \end{align}$$ ~~2.5~~ 2 ~~1.5~~ 1 ~~0.5~~