Dahlin
针对于含有纯滞后环节的连续被控对象，将超调量作为主要的设计指标
设计目标：设计合适的数字控制器，使得闭环系统的传递函数为含有纯滞后的一阶惯性环节，且闭环系统的纯滞后时间与被控对象的纯滞后时间完全相同，且为采样周期的整数倍。
一、基本形式
期望的闭环传递函数，使用阶跃响应不变法进行离散化（和零阶保持器串联）：
\tau=NT\; {\color{red}\Rightarrow} \;\varPhi(s)= \dfrac{e^{ -NT s}}{T_{0}s+1} \; {\color{red}\Rightarrow} \; \varPhi(z)=\mathscr{Z}\left[\dfrac{1-e^{ -Ts }}{s} \cdot\dfrac{e^{ -NT s}}{T_{0}s+1}\right] \end{align}$$ 广义对象的传递函数： $$\begin{align} G(z)=\mathscr{Z} \left[ G_{0}(s)G_{h}(s) \right] =(1-z^{-1}) \mathscr{Z} \left[ \dfrac{G_{0}(s)}{s} \right] \end{align}$$ 得到大林算法控制器： $$\begin{align} D(z)= \dfrac{1}{G(z)} \dfrac{\varPhi(z)}{1-\varPhi(z)}=\dfrac{1}{G(z)} \,\cdot\,\dfrac{(1-e^{ -T/T_{0} })z^{-(N+1)}}{1-e^{ -T/T_{0} }z^{-1}-(1-e^{ -T/T_{0} })z^{-(N+1)}} \end{align}$$ > 期望闭环传递函数和广义对象都可[[数字控制器#零阶保持器和惯性环节串联的 z 变换\|简化计算量]] ### 二、振铃现象 **Ringing** 现象：数字控制器 $D(z)$ 的控制器输出会以 $\dfrac{1}{2}$ 采样频率大幅度上下摆动 振铃现象对系统的输出几乎无影响，但会增加执行机构的磨损，并影响多参数系统的稳定性 #### 1. 振铃现象产生原因 数字控制器的输出量和系统参考输入量之间的关系为： $$\begin{align} U(z)= \dfrac{Y(z)}{G(z)}=\dfrac{\varPhi(z)R(z)}{G(z)}=\dfrac{\varPhi(z)}{G(z)} R(z) = \dfrac{D(z)}{1+D(z)G(z)}R(z)=\varPhi_{u}(z)R(z) \end{align}$$ 对于纯滞后的二阶惯性环节对象，会产生与 $z=-1$ 相近的极点，此极点将引起振铃现象。 #### 2. 振铃幅度 **Ringing Amplitude**：系统**单位阶跃信号**的作用下，数字控制器第 0 拍和第 1 拍输出的差值，实际上就是**输入和控制器输出的传递函数**分母 $z^{-1}$ 的系数和分子 $z^{-1}$ 的系数之差： $$\begin{align} \varPhi_{u}(z)= \dfrac{\varPhi(z)}{G(z)} =\dfrac{D(z)}{1+D(z)G(z)}=\dfrac{1+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots} \end{align}$$ $$\begin{align} & U(z)=\varPhi_{u}(z)R(z) \\ & =\dfrac{1+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots} \dfrac{1}{1-z^{-1}} \\ & =1+(b_{1}-a_{1}+1)z^{-1}+\cdots\; \\ {\color{red}\Rightarrow} \; & RA= 1-(b_{1}-a_{1}+1)=a_{1}-b_{1} \end{align}$$ **例子**： $$\begin{align} \varPhi_{u}(z)= \dfrac{1}{1+0.5z^{-1}}\quad b_{0}=0,a_{0}=0.5\quad RA=0.5 \end{align}$$ $$\begin{align} \varPhi_{u}(z)= \dfrac{1-0.5z^{-1}}{(1+0.5z^{-1})(1-0.2z^{-1})}\quad b_{0}=-0.5,a_{0}=0.3\quad RA=0.3-(-0.5)=0.8 \end{align}$$ #### 3. 消除振铃现象 令控制器导致振铃的极点项(接近 $z=-1$) 的 $z$ 直接为 1，影响动态响应，但是不影响静态 $(1+az^{-1})\; {\color{red}\Rightarrow} \;(1+a)$ $$\begin{align} D(z)=\dfrac{K(1-0.9512z^{-1})(1-0.989z^{-1})}{{\color{red} (1+0.9619z^{-1}) } (1-0.9355z^{-1})}=\dfrac{K(1-0.9512z^{-1})(1-0.989z^{-1})}{{\color{red} 1.9619 }(1-0.9355z^{-1})} \end{align}$$ 修正的闭环传递函数： $$\begin{align} \varPhi_{k}(z)=D(z)G(z)\quad \varPhi(z)=\dfrac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)} \end{align}$$