李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

充要条件：对线性定常系统而言 $Q>0$， $A^{T}P+PA=-Q$ 解出并判断 $P>0$ 则系统大范围渐进稳定 $Q\ge 0$， $A^{T}P+PA=-Q$ 解出并判断 $P>0$ 则系统稳定

一、线性定常连续系统

\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x} \end{align}$$ 平衡状态 $\mathbf{x}_{e}=\mathbf{0}$ 为**大范围渐进稳定**的**充分必要条件**： $A$ 的特征值均有负实部。 等价于：对于任意给定的正定对称矩阵 $Q$ ，存在**正定对称矩阵** $P>0$ ，使得 $A^{T}P+PA=-Q<0$ 李雅普诺夫函数为： $$\begin{align} V(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}P\mathbf{x}>0\quad \quad \dot{V}(x)=-\mathbf{x}^{T}Q\mathbf{x}<0 \end{align}$$ 1. 为方便计算，一般设出矩阵 $P$ 使得 $A^{T}P+PA=-I$, 2. 求出 $P$，并认定**矩阵正定** $P>0$，等价于 $A$ 的特征值均有负实部，也即认为系统在平衡点出大范围渐进稳定。 3. 如果只要求系统稳定，可以取 $Q$ 为半正定矩阵。 ### ~~二、线性时变连续系统~~ $$\begin{align} \dot{\mathbf{x}}=A(t)\mathbf{x} \end{align}$$ 系统在平衡点处大范围渐近稳定的**充分必要条件**：对于任意给定的连续对称正定矩阵 $Q(t)$，必存在一个连续对称矩阵 $P(t)$，满足：$\dot{P}(t)=-A^{T}(t)P(t)-P(t)A(t)-Q(t)$ 李雅普诺夫函数为：$V(\mathbf{x},t)=\mathbf{x}^{T}(t)P(t)\mathbf{x}(t)$ Riccati 矩阵微分方程的解（理论结果漂亮，但是不要求掌握，主要还是[[李雅普诺夫第二法\|李雅普诺夫第二法]]求解） ### ~~三、线性定常离散系统~~ $$\begin{align} \mathbf{x}(k+1)=G\mathbf{x}(k) \end{align}$$ 则平衡状态处**渐近稳定**的**充分必要条件**：$G$ 的特征根均在单位开圆盘内。 等价于：存在对称矩阵 $P>0$，使得 $G^{T}PG-P=-Q<0$ ### ~~四、线性时变离散系统~~ $$\begin{align} \mathbf{x}(k+1)=G(k+1,k)\mathbf{x}(k) \end{align}$$ 平衡状态大范围渐近稳定的充要条件：$P(k)>0$ $$\begin{align} G^{T}(k+1,k)P(k+1)G(K+1,k)-P(k)=-Q(k) \end{align}$$ $$\begin{align} V[\mathbf{x}(k),k]=\mathbf{x}^{T}(k)P(k)\mathbf{x}(k) \end{align}$$