在二阶系统的时域分析基础上分析
一、欠阻尼二阶系统基本量
二阶系统的设计一般取
c(t)&=1- \frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}e^{-\zeta \omega _{n}t}(\sqrt{ 1-\zeta^{2} }\cos \omega _{d}t+\zeta \sin \omega _{d}t)\\ &=1- \frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}e^{-\zeta \omega _{n}t}\sin(\omega _{d}t+\beta) \\ \beta&=\arctan \frac{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}{\zeta} \\ \zeta &=\cos \beta \end{align}$$ - **自然频率** $\omega_{n}$ - **阻尼比** $\zeta$ - **阻尼角** $\beta$ - **衰减系数** $\sigma=\zeta \omega_{n}$ - **阻尼振荡频率** $\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{ 1-\zeta^{2} }$  ### 二、动态性能指标 $\omega_{n}\uparrow\quad t_{d},t_{r},t_{p},t_{s} \downarrow$ $\zeta \uparrow\quad t_{d},t_{r},t_{p} \uparrow\quad \sigma,t_{s}\downarrow$ **延迟时间**：经验公式 $$\begin{align} h(t_{d})=0.5\quad t_{d}= \dfrac{1+0.6\zeta+0.2\zeta^{2}}{\omega_{n}} \end{align}$$ **上升时间**： $$\begin{align} h(t_{r})=1\quad \sin(\omega _{d}t_{r}+\beta)=0 \quad t_{r}= \frac{\pi-\beta}{\omega _{d}} \end{align}$$ **峰值时间**： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}\mid_{t=t_{p}} =0 \quad t_{p}=\frac{\pi}{\omega _{d}} \end{align}$$ 阻尼振荡周期的一半，与闭环极点虚部成反比；闭环极点距离负实轴距离越远，峰值时间越短 **超调量**： $$\begin{align} \sin(\pi+\beta)=-\sqrt{ 1-\zeta^{2} } \end{align}$$ $$\begin{align} h(t_{p})&=1- \frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}e^{-\pi \zeta/\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}\sin(\pi+\beta) \\ \sigma\%&=\frac{h(t_{p})-h(\infty)}{h(\infty)} =e^{- \pi \zeta/\sqrt{ 1-\zeta^{2} }} \end{align}$$ **调节时间**： - 到达并保持在终值 ±5% 内所需的最短时间 - 到达并保持在终值 ±2% 内所需的最短时间 $$\begin{align} t_{s}\leq \frac{3.5}{\zeta \omega _{n}}\quad \Delta=0.05 \\ t_{s}\leq \frac{4.4}{\zeta \omega _{n}}\quad \Delta=0.02 \end{align}$$