Stability Analysis of Discrete Systems
一、离散系统稳定的充分必要条件
由线性系统稳定性分析知道：线性连续系统的闭环传递函数的极点都在 s 域的左半平面时，系统稳定。类似的，由映射关系可以得到，离散系统稳定的充分必要条件为：系统的闭环 z 传递函数 的所有极点都在 z 平面的单位圆内部，
s=\sigma+j\omega \; {\color{red}\Rightarrow} \; z=e^{ sT }=e^{ \sigma T }e^{ j\omega T } \quad \begin{cases} r_{z}= e^{ \sigma T } \\ \\ \theta=\omega T \end{cases} \end{align}$$  ### 二、稳定性判据 #### 2.1 修正的劳斯稳定性准则 连续系统中：[[线性系统稳定性分析#2. 劳斯判据\|线性系统稳定性分析#2. 劳斯判据]] 引入与 [[z 变换\|z 变换]] 为双线性变换的 w 变换，将单位圆映射到 w 平面的左半平面 $$\begin{align} z= \dfrac{w+1}{w-1} \; {\color{red}\Leftrightarrow} \; w= \dfrac{z+1}{z-1} \end{align}$$ 对闭环传递函数的特征方程进行 w 变换，得到 w 特征方程： $$W(s)=a_{n}w^{n}+a_{n-1}w^{n-1}+\cdots+a_{1}w+a_{0}=0$$ 离散系统稳定的充分必要条件为：**第一列各值均为正值** | $w^{n}$ | ${\color{red} a_{n} }$ | $a_{n-2}$ | $a_{n-4}$ | $\cdots$ | | --------- | ----------------------- | ------------ | ------------ | ------------ | | $w^{n-1}$ | $\color{red} a_{n-1}$ | $a_{n-3}$ | $a_{n-5}$ | $\cdots$ | | $w^{n-2}$ | $\color{red} L_{31}$ | $L_{32}$ | $L_{33}$ | $\cdots$ | | $w^{n-3}$ | $\color{red} L_{41}$ | $L_{42}$ | $L_{43}$ | $\cdots$ | | $\cdots$ | $\cdots$<br> | $\cdots$<br> | $\cdots$<br> | $\cdots$<br> | | $w^{0}$ | $\cdots$<br> | | | | $$\begin{align} L_{31}=-\frac{1}{\color{red} a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n-2} \\ a_{n-1} & a_{n-3} \\ \end{vmatrix} \\ L_{32}=-\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-5} \\ \end{vmatrix} \\ L_{33}=-\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n-6} \\ a_{n-1} & a_{n-7} \\ \end{vmatrix} \\ \\ L_{41}=-\frac{1}{L_{31}} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ L_{31} & L_{32} \\ \end{vmatrix} \\ L_{42}=-\frac{1}{L_{31}} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-5} \\ L_{31} & L_{33} \\ \end{vmatrix} \end{align}$$ #### 2.2 朱利判据 直接在 z 域根据线性离散系统的闭环特征方程进行稳定性判别 $$\begin{align} \alpha(z)={a}_{0}z^{n} + {a}_{1}z^{n-1} + \cdots + {a}_{n}=0 \end{align}$$ 离散系统稳定的充分必要条件为：**所有奇数行第一列元素均大于零**（$a_{0},b_{0},\cdots,m_{0}>0$），即特征方程的全部特征根均在单位圆内。 如果有小于零的元素，则离散系统不稳定，且小于零的元素个数就是位于圆外的特征根的个数。 | | $z^{n}$ | $z^{n-1}$ | $z^{n-2}$ | $\cdots$ | $z^{2}$ | $z^{1}$ | $z^{0}$ | | --- | -------------------- | --------- | --------- | -------- | --------- | --------- | ------- | | ✅ | $\color{red} a_{0}$ | $a_{1}$ | $a_{2}$ | $\cdots$ | $a_{n-2}$ | $a_{n-1}$ | $a_{n}$ | | | $a_{n}$ | $a_{n-1}$ | $a_{n-2}$ | $\cdots$ | $a_{2}$ | $a_{1}$ | $a_{0}$ | | ✅ | $\color{red} b_{0}$ | $b_{1}$ | $b_{2}$ | $\cdots$ | $b_{n-2}$ | $b_{n-1}$ | | | | $b_{n-1}$ | $b_{n-2}$ | $b_{n-3}$ | $\cdots$ | $b_{2}$ | $b_{0}$ | | | ✅ | $\color{red} c_{0}$ | $c_{1}$ | $c_{2}$ | $\cdots$ | $c_{n-2}$ | | | | | $c_{n-2}$ | $c_{n-3}$ | $c_{n-4}$ | $\cdots$ | $c_{0}$ | | | | | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | | | | | | ✅ | $\color{red} l_{0}$ | $l_{1}$ | | | | | | | | $l_{1}$ | $l_{0}$ | | | | | | | ✅ | $\color{red} m_{0}$ | | | | | | | $$\begin{align} b_{0}=a_{0}- a_{n} \dfrac{a_{n}}{a_{0}}\quad b_{1}=a_{1}-a_{n-1} \dfrac{a_{n}}{a_{0}}\quad b_{2}=a_{2}-a_{n-2} \dfrac{a_{n}}{a_{0}} \quad \cdots\\ c_{0}=b_{0}- b_{n-1} \dfrac{b_{n-1}}{b_{0}}\quad c_{1}=b_{1}-b_{n-2} \dfrac{b_{n-1}}{b_{0}}\quad c_{2}=b_{2}-b_{n-3} \dfrac{b_{n-1}}{b_{0}}\quad \cdots \end{align}$$