Controllability
基本定义
状态变量可以由输入来影响和控制，而由任意的初态达到原点。
系统的可控性是从状态方程的角度看的，系统的可控建立在状态的可控。
graph LR 输入 --> 状态可控 --> 系统可控 & 系统不完全可控
状态可控：对于一个初始条件下的非零初始状态 ，存在一个无约束的容许控制，在有限时间内，使得状态由 转移到
- 系统可控：状态空间中的所有非零状态都是可控的
- 系统不完全可控：存在一个或一些非零状态在时刻 是不可控的
一、线性定常系统的可控性判据
考虑线性定常系统的状态方程
\dot{\mathbf{x}}(t)={\color{red}{A} } \mathbf{x}(t)+{\color{#7496ff}B}\mathbf{u}(t) \end{align}$$ 系统的能控性取决于系统矩阵 $A$ 和控制矩阵 $B$。 #### 1. 对角线规范型判据 利用[[状态向量的线性变换\|状态空间表达式Jordan标准化]]将系统矩阵进行线性变换 $$\dot{\mathbf{z}}=T^{-1}AT\mathbf{z}+T^{-1}B\mathbf{u} =\begin{cases} \mathbf{\dot{z}}=\Lambda \mathbf{z}+T^{-1}B\mathbf{u} \quad \text{特征值无重根，化为对角阵}\\ \\ \mathbf{\dot{z}}=J \mathbf{z} +T^{-1}B\mathbf{u} \quad \text{特征值有重根，化为约旦标准型} \end{cases}$$ 1. 如果化为对角阵，只要控制矩阵元素全不为零，则系统能控。 2. 如果化为 Jordan 标准型 不同特征值对应的不同约旦块的**最后一行元素不为零向量** 相同特征值产生的约旦块的**最后一行元素不仅不为零向量**，且要满足**线性独立**的条件 $$\begin{align} A=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 1 & 0\\0 & \lambda_{1} & 1\\ 0 & 0 & \color{#00b7d3}{\lambda_{1}} \\ & & & \lambda_{2} & 1 \\ & & & & \color{#11cabb}{\lambda_{2}} \\ & & & & & \color{red}{\lambda_{3} } \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} \\ \\ \color{#00b7d3}{b_{1} } & \color{#00b7d3}{b_{2}} \\\ \\ \color{#11cabb}{b_{3} } & \color{#11cabb}{b_{4}} \\ \color{red}{b_{5} } & \color{red}{b_{6}} \end{pmatrix} \end{align}$$ 如果 $\lambda_{1}\neq\lambda_{2} \neq\lambda_{3}$，只要 $(b_{1},b_{2}),(b_{3},b_{4}),(b_{5},b_{6})$ 不为零向量即可 如果 $\lambda_{1}=\lambda_{2}\neq\lambda_{3}$ ，不仅要 $(b_{1},b_{2}),(b_{3},b_{4})$ 不为零向量，且要线性独立 #### 2. 构造能控性矩阵判断（秩判据）（主要使用） 由[[凯莱-哈密顿定理\|凯莱-哈密顿定理]]得到能控的充分必要条件： $$\begin{align} rank\; M =rank \; \begin{pmatrix} B & AB & \cdots & A^{{\color{red}{n-1} } }B \end{pmatrix}=n \end{align}$$ #### ~~3. 传递函数判断能控性~~ $$\begin{align} W_{ux}(s)=(sI-A)^{-1}B \end{align}$$ 计算[[传递函数矩阵\|传递函数矩阵]]，如果不存在[[零极点\|零极点]]对消，则系统能控 传递函数分子和分母约掉一个相同的公因子后，就相当于状态变量减少了一维，系统出现低维能控子空间和不能控子空间，则系统不能控。