线性定常系统的能观性

Observability

基本定义

考察系统所有状态变量的任意形式的运动是否均可以由输出完全反映。只需要考虑状态变量的影响，无需考虑输入，所以只需要看状态空间方程的齐次部分和输出方程

• 系统完全可观测：系统的输出能唯一确定状态向量的初值，则称系统是完全可观测的
• 系统不可观测：系统的输出不能唯一确定所有状态向量的初值

一、线性定常系统的能观性

\mathbf{\dot{x}}=A\mathbf{x}\quad \mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0} \\ \mathbf{y}=C\mathbf{x} \end{cases}$$ #### 1. 对角线规范型判据 利用[[状态向量的线性变换\|状态空间表达式Jordan标准化]]将系统矩阵进行线性变换 $$\begin{align} \dot{\mathbf{z}} & =T^{-1}AT\mathbf{z} =\begin{cases} \mathbf{\dot{z}}=\Lambda \mathbf{z}\quad \text{特征值无重根，化为对角阵}\\ \\ \mathbf{\dot{z}}=J \mathbf{z} \quad \text{特征值有重根，化为约旦标准型} \\ \end{cases} \\ y&=CT\mathbf{z} \end{align}$$ 线性变换后，看**输出矩阵** $CT$ 1. 如果化为对角阵，只要输出矩阵元素全不为零 2. 如果化为 Jordan 标准型 不同特征值对应的不同约旦块的**第一列元素不为零向量** 相同特征值产生的约旦块的**第一列元素不仅不为零向量**，且要满足**线性独立**的条件 $$\begin{align} A=\begin{pmatrix} \color{#00b7d3}{\lambda_{1}} & 1 & 0\\0 & \lambda_{1} & 1\\ 0 & 0 & \lambda_{1} \\ & & & \color{#11cabb}{\lambda_{2}} & 1 \\ & & & & \lambda_{2} \\ & & & & & \color{red}{\lambda_{3} } \end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix} \color{#00b7d3}{c_{1} } & & & \color{#11cabb}{c_{3} } & & \color{red}{c_{5} }\\ \color{#00b7d3}{c_{2}} & & & \color{#11cabb}{c_{4}} & & \color{red}{c_{6}} \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 2. 构造能观判别矩阵（秩判据） 系统完全能观的充分必要条件： $$\begin{align} rank \;N=rank \begin{pmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{pmatrix}=n \end{align}$$