Discretization of continuous-time system state equations
一、线性定常系统的离散化
\boldsymbol{x}_{(t)}=e^{ A(t-t_{0}) }\boldsymbol{x}_{(t_{0} )}+e^{ At } \int _{t_{0}}^{t} e^{ -A\tau }B\boldsymbol{u}_{(t)} \, d\tau \end{align}$$ 考虑采样时间 $t_{k+1}-t_{k}=T$ 内： $$\begin{align} \boldsymbol{x}{[k+1]} & = {\large e^{ A(t_{k+1}-t_{k}) }}\boldsymbol{x}{[k] }+ \int _{t_{k}}^{t_{k+1}} {\large e^{ A(t_{k+1}-\tau)} } B\boldsymbol{u}_{[k]} \, d\tau \end{align}$$ 1. 系统的状态方程离散化后，系数改变： $$\begin{align} \dot{\boldsymbol{x}}(t)&=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+ \boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t) \quad {\color{red}\Rightarrow} \quad \boldsymbol{x}(k+1) =\boldsymbol{G}(T)\boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{H}(T)\boldsymbol{u}(k) \end{align}$$ $T$ 为采样周期，新的系数为： $$\begin{align} \boldsymbol{G}(T) & =e^{ \boldsymbol{A}T } \quad \quad \boldsymbol{H}(T)=\int _{0}^{T} e^{ \boldsymbol{A}t }\, dt\cdot \boldsymbol{B} =-\boldsymbol{A}^{-1} (e^{ 0 }-e^{ \boldsymbol{A}T })\boldsymbol{B}=A^{-1}(F-I)B \end{align}$$ 2. 系统的输出方程离散化后，系数不变： $$\begin{align} \boldsymbol{y}(k) & =\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{D}\boldsymbol{u}(k) \quad {\color{red}\Rightarrow} \quad \boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{D} \boldsymbol{u}(t) \end{align}$$ #### 实际例子 ### 二、线性时变系统的离散化 $$\begin{align} \boldsymbol{G}(kT) & =\varPhi[(k+1)T,kT] \\ \boldsymbol{H}(kT) & =\int _{kT}^{(k+1)T} \varPhi[(k+1)T,\tau]\quad \boldsymbol{B}(\tau)\, d\tau \\ C(kT) & =C(t) |_{t=kT}\\ D(kT) & =D(t) |_{t=kT} \end{align}$$ ### 三个基本假设 连续时间系统状态方程的离散化通常基于以下三个基本假设： [[模拟控制器离散化\|模拟控制器离散化]] 1. **采样时刻输入输出相等**：在采样时刻，连续信号的函数值与离散信号的函数值是相等的。这意味着在每个采样点，连续时间系统的输出值与离散时间系统的输出值相同。数学上可以表示为：e(t)|_{t=nT} = e(nT) = e
e(t)|_{t=(n+1)T} = e((n+1)T) = e
其中 $e(t)$ 为连续信号，$e^*(t)$ 为采样信号。 2. **零阶保持（Zero-Order Hold, ZOH）**：在两个采样点之间，输入信号被假设为恒定的，即输入信号在采样间隔内保持不变。这相当于使用零阶保持器，它将数字信号转换为连续信号，以解决各采样点之间的插值问题。零阶保持器的外推公式为：e(nT + \Delta t) = a_0 + a_1 \Delta t + a_2 (\Delta t)^2 + \ldots + a_m (\Delta t)
其中，$\Delta t$ 是以 $nT$ 时刻为原点的坐标，现在时刻的输出 $e(nT + \Delta t)$ 值，取决于 $\Delta t = 0, -T, -2T, \ldots, -mT$ 各过去时刻的离散信号 $e^*(nT), e^*((n-1)T), \ldots, e^*((n-m)T)$ 的 $(m+1)$ 个值。 3. **线性系统假设**：在离散化过程中，假设系统是线性的，这意味着系统的状态方程和输出方程可以表示为：\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
其中，$x(t)$ 是状态向量，$u(t)$ 是输入向量，$y(t)$ 是输出向量，$A$，$B$，$C$，和 $D$ 是系统矩阵。在离散化过程中，这些矩阵保持不变，但它们的作用是在离散时间点上通过离散化方法来近似连续时间系统的行为。 这些假设是连续时间系统状态方程离散化的基础，它们允许我们通过离散时间模型来近似连续时间系统的行为，从而便于在数字计算机上进行仿真和控制。