Schur Decomposition Schur 分解
Schur 分解把任意复方阵酉相似到上三角矩阵。对任意
都存在列向量标准正交的 酉矩阵 和上三角矩阵 ，使得
等价地，
这里 满足 。Schur 分解只要求 是方阵，不要求 可对角化。
存在性、唯一性与域
复 Schur 分解对任意复方阵都存在，因为复数域中每个特征多项式都有根，归纳构造总能从一个特征向量开始。实方阵若允许复酉矩阵，也可直接使用复 Schur 分解；若要求所有矩阵保持实数，则得到实 Schur 形式，矩阵不再完全上三角，而是准上三角，非实共轭特征值以 实块出现。
Schur 分解一般不唯一。对角线上特征值的顺序可以通过酉相似变换重新排列；重复特征值对应的不变子空间也有基选择自由。真正唯一的是特征值的多重集合，以及在给定排序和不变子空间选择后得到的三角化结构。若 正规，则上三角因子被迫退化为对角矩阵，此时 Schur 分解成为谱分解。
三角形式
是上三角矩阵：
因为相似变换保持特征值，而上三角矩阵的特征值就是对角线元素，所以
正是 的特征值，按代数重数重复出现。换句话说，Schur 分解总能把谱信息放到对角线上，即使矩阵没有足够多特征向量而无法对角化。
构造思想
Schur 分解的证明可以用归纳理解。任意复方阵至少有一个特征值 和单位特征向量 。把 扩展成 的一组标准正交基，得到酉矩阵
由于 ，矩阵 的第一列在第一行以下全为 ：
再对右下角的 方阵 重复同样过程，就得到完整的上三角 。这个构造说明 的前 列张成一个 的不变子空间，而不必每一列都单独是 的特征向量。
这个“不变子空间链”是 Schur 分解区别于对角化的关键。对角化要求每个坐标轴都是一维不变子空间；Schur 分解只要求前 个坐标轴张成的子空间整体不变。因此即使矩阵只有一个特征向量方向，也仍可被放入上三角坐标系中。
与对角化
若 可对角化，则存在可逆矩阵 使
Schur 分解比它更普遍，因为 总可取为酉矩阵，但 只保证是三角矩阵，不保证是对角矩阵。
当 是 正规矩阵 时，Schur 分解进一步变成谱分解。若
且 ，则 也满足
一个上三角正规矩阵只能是对角矩阵，所以
因此正规矩阵恰好是那些能被酉矩阵对角化的矩阵。一般非正规矩阵的 会保留非零上三角项，它们表示特征方向之间无法用正交基完全分离的部分。
与 Jordan 形式
Jordan矩阵 也适用于任意复方阵，但它使用一般可逆矩阵和广义特征向量：
Jordan 形式更接近代数分类，却对扰动很敏感；Schur 分解使用酉相似变换，保持长度与内积，数值上更稳定。实际计算特征值时，通常更偏向 Schur 形式，而不是直接追求 Jordan 形式。
若 不可对角化，Schur 分解仍然存在。例如 Jordan 块
本身已经是上三角 Schur 形的一种，但它不能被相似到对角矩阵。Schur 分解的优势正是在这里：它不把不可消除的耦合隐藏起来，而是放在上三角区域。
数值算法语义
QR 特征值算法可以看作逐步逼近 Schur 形式。先分解
再反转因子得到
每一步都是相似变换，所以特征值不变；在合适条件与移位策略下，矩阵会逐渐接近上三角形式，特征值显现在对角线上。
使用酉或正交矩阵的原因是数值稳定：酉相似变换不改变二范数长度，也不放大正交关系。对大型稀疏矩阵，常先化为 Hessenberg 形式，再做 QR 迭代，以降低每步成本。
边界上，Schur 分解不会消除非正规耦合，而是把它压到上三角的非对角区域。若特征值高度重合， 的对角线信息可能不足以揭示几何重数，必须结合上三角部分或转向 Jordan 理论理解缺失的特征向量。数值算法中通常接受 Schur 形式作为稳定终点，而不继续追求对扰动敏感的 Jordan 块。
实矩阵情形
若实矩阵允许使用复数酉矩阵，也适用同一个 Schur 分解。若坚持所有矩阵都为实数，则实 Schur 形式通常是准上三角矩阵：实特征值对应 块，成对复特征值对应 块。这样可以在实数计算中保留复共轭特征值的信息。
相邻概念
相似矩阵 解释了为什么 与 有相同特征值。酉矩阵 保证 Schur 分解中的换基稳定且保持内积。正规矩阵 是 Schur 分解退化为酉对角化的精确条件。矩阵对角化 是三角化在有足够特征向量时的更强形式，而 Schur 分解是任意方阵都可达到的稳定标准形。