一致性条件

定义

Consistency Condition 一致性条件是右端项 $b$ 必须满足的约束，使线性方程组

$$Ax=b$$

至少有一个解。换句话说，它判断 $b$ 是否属于 $A$ 的列空间：

$$Ax=b\text{可解}⟺b\in C(A).$$

若条件不成立，解集为空；若条件成立，才谈得上特解和通解。

增广矩阵形式

一致性条件最直接地来自增广矩阵：

$$[Ab]⟶[Rd].$$

行变换必须同时作用在 $A$ 和 $b$ 上。化简后，$Ax=b$ 与 $Rx=d$ 等价。若 $R$ 的某一行是零行，则该行左边表示 $0$；为了不产生矛盾，对应的右端项必须也是 $0$。

因此

$$\text{若 }R\text{ 的第 }i\text{ 行为零行，则必须有 }{d}_i=0.$$

如果出现

$$0=d_i,d_i\ne 0,$$

方程组不相容。

行依赖关系形式

零行条件也可以写成行依赖关系。若存在非零向量 $y$ 使

$$y^{T}A=0,$$

则 $A$ 的若干行按 $y$ 的系数组合后消成零行。若 $Ax=b$ 有解，对等式左乘 $y^T$ 得

$$y^{T}Ax=y^{T}b.$$

左边为 $0$，所以必须满足

$$y^{T}b=0.$$

因此，$A$ 的每一个行依赖关系都要求 $b$ 满足同样的线性关系。这也是左零空间和列空间之间的关系：左零空间中的向量必须与所有可达的右端项正交。

例子

设

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 1& 4\\ 1& 3& 1& 6\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right].$$

第三行等于第一行加第二行。消元到增广矩阵时，最后一行变为

$$\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& b_3-b_1-b_2\end{array}\right].$$

因此方程可解当且仅当

$$b_3-b_1-b_2=0,\text{即}{b}_1+b_2=b_3.$$

若取 $b=(1,6,7{)}^T$，条件成立，最后一行是 $0=0$。若取 $b=(1,6,8{)}^T$，最后一行是 $0=1$，方程无解。

再看

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ -2& -3\end{array}\right].$$

三行相加为零行，所以右端项也必须满足

$$b_1+b_2+b_3=0.$$

这一个条件把允许的 $b$ 限制在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个平面内，也就是 $A$ 的列空间。

与秩条件的关系

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$r=\mathrm{rank}(A)$。行最简形 $R$ 有

$$m-r$$

个零行。因此最多会出现 $m-r$ 个独立的一致性条件。矩阵语言下，方程可解等价于

$$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([Ab]).$$

若增广列把秩提高了，说明 $b$ 不在列空间内；若秩没有提高，说明 $b$ 能由 $A$ 的列组合得到。

四种秩情形中的一致性

秩情形	一致性条件	解数结论
$r=m=n$	没有额外条件	每个 $b$ 恰有一个解
$r=m<n$	没有额外条件	每个 $b$ 都有无穷多解
$r=n<m$	有 $m-n$ 个零行条件	满足条件时唯一解，否则无解
$r<m,r<n$	有 $m-r$ 个零行条件	满足条件时无穷多解，否则无解

所以满行秩意味着一致性条件自动满足；满列秩只意味着相容后解唯一，并不自动保证相容。

与完整解的关系

一致性条件只回答“有没有解”。一旦它成立，完整解还要继续分解为

$$x=x_p+x_n,x_n\in N(A).$$

其中 $x_p$ 由 $Rx=d$ 中取自由变量为 $0$ 得到，$x_n$ 来自齐次方程 $Ax=0$ 的零空间。若一致性条件不成立，$x_p$ 不存在，$x_p+N(A)$ 这种通解结构也不存在。