First-Order Differential Equation
一阶微分方程的一般形式：
y'=f(x,y) \end{align}$$ ### 一、可分离变量的微分方程 $$\begin{align} \quad \quad g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x \;\Rightarrow\; \int g(y)\mathrm{d}y=\int f(x)\mathrm{d}x \;\Rightarrow\; G(y)=F(x)+C \end{align}$$ ### 二、齐次方程 #### 1. 齐次方程 $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(\dfrac{y}{x}) \end{align}$$ 变量代换： $u=\dfrac{y}{x}, y=ux$ 求导得到： $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)$$ 分离变量得： $$\dfrac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\dfrac{\mathrm{d}x}{x}$$ 进一步积分即可得到通解： $$\begin{align} \int \dfrac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x} \end{align}$$ #### 2. 可化为齐次的方程 $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}} \end{align}$$ 1. 如果 $\dfrac{a_{1}}{a}\neq \dfrac{b_{1}}{b}$ $h,k$ 为待定系数，变量代换：$x=X+h,y=Y+k$ 求导得到：$\mathrm{d}x=\mathrm{d}X,\mathrm{d}y=\mathrm{d}Y$ $$\begin{cases} ah+bk+c=0 \\ \\ a_{1}h+b_{1}k+c_{1}=0 \end{cases}$$ 进一步得到齐次方程： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\dfrac{aX+bY+ah+bk+c}{a_{1}X+b_{1}Y+a_{1}h+b_{1}k+c_{1}}=\dfrac{aX+bY}{a_{1}X+b_{1}Y} \end{align}$$ 2. 如果 $\dfrac{a_{1}}{a} = \dfrac{b_{1}}{b}$, 令 $\dfrac{a_{1}}{a} = \dfrac{b_{1}}{b}=\lambda$ 变量代换：$v=ax+by$ 求导得到： $$\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=a+b\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{b}(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a)$$ 得到可分离变量的方程： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+c_{1}} \Rightarrow \dfrac{1}{b}(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a)=\dfrac{v+c}{\lambda v+c_{1}} \end{align}$$