估计量的评选标准

点估计的结果不唯一，要判断哪个估计量好，就要建立评价标准来评判估计量的优劣

无偏性

估计量的均值等于被估计的参数

使用样本均值 $\overline{X}$ 作为总体均值 $E(X)$ 的估计时，偏差随机产生，没有系统性偏差的性质称为无偏性。

设 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为未知参数 $\theta \in \Theta$ 的估计量，如果对 $\forall \theta \in \Theta$ ,有 $E(\hat{\theta })=\theta$ 成立，则称估计量为无偏估计量

• 样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$ 是 $D(X)$ 的无偏估计
• 样本的 $k$ 阶原点矩 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$ 是 $E(X^k)$ 的无偏估计 $E\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k\right]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X^k)=E(X^k)$

有效性

方差越小越好

如果未知参数有两个不同的无偏估计，则 $\theta$ 一定有无穷多个无偏估计，$\alpha {\hat{\theta }}_1+(1-\alpha ){\hat{\theta }}_2$ 如果 $D({\hat{\theta }}_1)<D({\hat{\theta }}_2)$ 则称 ${\theta }_1$ 较 ${\theta }_2$ 有效

D(\hat{\theta}_{1})=E(\hat{\theta}_{1}-E(\hat{\theta}_{1}))^{2} \end{align}$$ **最佳无偏估计量** $\tilde{\theta}$ $$\begin{align} E(\tilde{\theta})&=\theta \\ D(\tilde{\theta})&=\mathop{\min}\limits_{\tilde{\theta}\in\Theta}D(\hat{\theta}) \end{align}$$ 最佳无偏估计量为所有无偏估计量中：方差最小的无偏估计量 [[Schwarz不等式\|Schwarz不等式]] ### 一致性 一致/相合统计量 [[大数定律\|Khinchin 大数定律]]依概率收敛： $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } P\left\{\left\lvert \hat{\theta}-\theta \right\rvert> \varepsilon \right\}=0 \end{align}$$ 样本量足够大时，就能使得参数的**估计量**与参数**真值**的差大于 $\varepsilon$ 的概率足够小，估计到任意的精度。