伴随算子

Adjoint Operator 伴随算子 (Adjoint Operator)

基本定义

Hilbert空间中的伴随算子

设 ${\mathcal{H}}_1$ 和 ${\mathcal{H}}_2$ 是Hilbert空间，$T:{\mathcal{H}}_1\to {\mathcal{H}}_2$ 是有界算子。$T$ 的伴随算子 $T^{\ast }:{\mathcal{H}}_2\to {\mathcal{H}}_1$ 是满足以下关系的唯一算子：

$⟨Tx,y{⟩}_{{\mathcal{H}}_2}=⟨x,T^{\ast }y{⟩}_{{\mathcal{H}}_1},\forall x\in {\mathcal{H}}_1,y\in {\mathcal{H}}_2$

存在性和唯一性

Riesz表示定理的应用：

• 对固定 $y\in {\mathcal{H}}_2$，定义 ${\varphi }_y(x)=⟨Tx,y⟩$
• ${\varphi }_y$ 是 ${\mathcal{H}}_1$ 上的有界线性泛函
• 由Riesz表示定理，存在唯一的 $z\in {\mathcal{H}}_1$ 使得 ${\varphi }_y(x)=⟨x,z⟩$
• 定义 $T^{\ast }y=z$

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Banach空间中的伴随算子

定义

设 $X,Y$ 是Banach空间，$T\in \mathcal{B}(X,Y)$。对偶算子 (Dual Operator) 或Banach伴随 $T^{\ast }:Y^{\ast }\to X^{\ast }$ 定义为：

$⟨T^{\ast }f,x⟩=⟨f,Tx⟩,\forall f\in Y^{\ast },x\in X$

即 $T^{\ast }f=f\circ T$。

与Hilbert空间伴随的关系

在Hilbert空间中：

• 通过Riesz表示：$\mathcal{H}\cong {\mathcal{H}}^{\ast }$
• Hilbert伴随 $T^{\ast }$ 与Banach伴随的关系涉及共轭线性

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基本性质

1. 基本代数性质

设 $S,T\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$，$\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$：

1. 线性：$(\alpha S+\beta T{)}^{\ast }=\overline{\alpha }{S}^{\ast }+\overline{\beta }{T}^{\ast }$
2. 复合：$(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$
3. 幂等：$(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$
4. 单位算子：$I^{\ast }=I$

2. 范数性质

1. 等距性：$\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$
2. 算子范数：$\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{\Vert }^2$

证明：

• $\Vert T^{\ast }T\Vert \le \Vert T^{\ast }\Vert \Vert T\Vert =\Vert T{\Vert }^2$
• $\Vert Tx{\Vert }^2=⟨Tx,Tx⟩=⟨T^{\ast }Tx,x⟩\le \Vert T^{\ast }T\Vert \Vert x{\Vert }^2$
• 因此 $\Vert T{\Vert }^2\le \Vert T^{\ast }T\Vert$

3. 谱的关系

对于 $T\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$：

• $\sigma (T^{\ast })=\{\overline{\lambda }:\lambda \in \sigma (T)\}$
• 若 $Tx=\lambda x$，则 $T^{\ast }y=\overline{\lambda }y$（对于对偶空间中的 $y$）

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特殊算子类

1. 自伴算子 (Self-Adjoint Operator)

定义：$T\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ 称为自伴算子（或Hermitian算子），如果： $T=T^{\ast }$

等价刻画：

• $⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩$，$\forall x,y\in \mathcal{H}$
• 谱 $\sigma (T)\subset \mathbb{R}$

性质：

1. 谱实性：$\sigma (T)\subset \mathbb{R}$
2. 特征值实数：若 $Tx=\lambda x$，则 $\lambda \in \mathbb{R}$
3. 特征函数正交：不同特征值对应的特征向量正交
4. 范数：$\Vert T\Vert ={\sup }_{\Vert x\Vert =1}|⟨Tx,x⟩|$

例子：

• 实矩阵：$A^T=A$（在 ${\mathbb{R}}^n$ 中）
• Hermite矩阵：$A^{\ast }=A$（在 ${\mathbb{C}}^n$ 中）
• 乘法算子：$(M_{\varphi }f)(x)=\varphi (x)f(x)$，其中 $\varphi$ 是实函数
• 积分算子：对称核 $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$

2. 正规算子 (Normal Operator)

定义：$T\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ 称为正规算子，如果： $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$

性质：

1. 包含关系：$\{\text{自伴算子}\}\subset \{\text{正规算子}\}$
2. 谱定理：正规算子有谱分解
3. 特征向量：存在由特征向量构成的完备正交基
4. 范数：$\Vert T\Vert ={\sup }_{\lambda \in \sigma (T)}|\lambda |$

例子：

• 自伴算子、酉算子、反自伴算子
• 正规矩阵（可以西对角化）

3. 酉算子 (Unitary Operator)

定义：$U\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ 称为酉算子，如果： $U^{\ast }U=U{U}^{\ast }=I$

等价刻画：

• $U$ 是满射的等距算子：$\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$
• $U^{\ast }=U^{-1}$
• $U$ 保持内积：$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$

性质：

1. 谱：$\sigma (U)\subset \{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$（单位圆周）
2. 等距性：$\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$
3. 可逆性：$U^{-1}=U^{\ast }$

例子：

• 旋转矩阵：$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
• 移位算子（在 ${\ell }^2(\mathbb{Z})$ 上）
• 傅里叶变换：$\mathcal{F}:L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$

4. 正算子 (Positive Operator)

定义：自伴算子 $T$ 称为正算子（$T\ge 0$），如果： $⟨Tx,x⟩\ge 0,\forall x\in \mathcal{H}$

性质：

1. 谱：$\sigma (T)\subset [0,\infty )$
2. 平方根：存在唯一的正算子 $S$ 使得 $S^2=T$（记为 $T^{1/2}$）
3. Cauchy-Schwarz不等式：$|⟨Tx,y⟩{|}^2\le ⟨Tx,x⟩⟨Ty,y⟩$

5. 反自伴算子 (Skew-Adjoint Operator)

定义：$T$ 称为反自伴算子，如果： $T^{\ast }=-T$

性质：

• 谱在虚轴上：$\sigma (T)\subset i\mathbb{R}$
• $iT$ 是自伴的

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算子类关系图

正规算子
├── 自伴算子
│   └── 正算子
├── 反自伴算子
└── 酉算子

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谱定理

自伴算子的谱定理

定理：设 $A$ 是Hilbert空间 $\mathcal{H}$ 上的有界自伴算子。则存在投影值测度 $E:\mathcal{B}(\mathbb{R})\to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ 使得：

$A={\int }_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda )$

离散情形：若 $A$ 是紧自伴算子，则： $Ax={\sum }_{n=1}^{\infty }{\lambda }_n⟨x,e_n⟩e_n$

其中 $\{{\lambda }_n\}$ 是特征值，$\{e_n\}$ 是规范正交的特征向量。

正规算子的谱定理

定理：$T$ 是正规算子当且仅当存在谱分解： $T={\int }_{\sigma (T)}\lambda dE(\lambda )$

等价表述：$T$ 可以酉对角化。

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具体例子

1. 矩阵的伴随

对于 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$：

• 伴随矩阵：$A^{\ast }={\overline{A}}^T$（共轭转置）
• 内积关系：$⟨Ax,y⟩=y^{\ast }Ax=⟨x,A^{\ast }y⟩$

特殊矩阵：

• Hermite矩阵：$A^{\ast }=A$（自伴）
• 酉矩阵：$U^{\ast }U=I$
• 正规矩阵：$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$

2. 积分算子的伴随

在 $L^2[a,b]$ 上，$(Kf)(t)={\int }_a^{b}K(t,s)f(s)ds$。

伴随算子： $(K^{\ast }g)(s)={\int }_a^b\overline{K(t,s)}g(t)dt$

自伴条件：$K(t,s)=\overline{K(s,t)}$

3. 移位算子的伴随

在 ${\ell }^2(\mathbb{N})$ 上：

右移位：$(Sx{)}_1=0$，$(Sx{)}_n=x_{n-1}$（$n\ge 2$）

• 伴随：$(S^{\ast }x{)}_n=x_{n+1}$（左移位）
• 关系：$S^{\ast }S=I$，$S{S}^{\ast }=I-P_1$（$P_1$ 是第一个坐标的投影）

4. 微分算子的伴随

在适当定义域上：

一阶微分：$D=\frac{d}{dx}$

• 形式伴随：$D^{\ast }=-\frac{d}{dx}$（在实函数空间）
• 分部积分：${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx+[fg{]}_a^b$

Laplace算子：$-\Delta$

• 自伴性：在Dirichlet或Neumann边界条件下
• Green恒等式：${\int }_{\Omega }(u\Delta v-v\Delta u)=\text{边界项}$

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量子力学中的应用

可观测量与自伴算子

基本假设：量子力学中的可观测量用自伴算子表示。

例子：

1. 位置算子：$(X\psi )(x)=x\psi (x)$
2. 动量算子：$(P\psi )(x)=-i\hslash \frac{d}{dx}\psi (x)$
3. Hamilton算子：$H=\frac{P^2}{2m}+V(X)$

测量与谱理论

基本原理：

• 测量结果必须是实数（谱实性）
• 测量后系统坍缩到特征态
• 期望值：$⟨\psi |A|\psi ⟩=⟨A\psi ,\psi ⟩$

时间演化

Schrödinger方程： $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$

解：$|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩$

性质：

• $H$ 自伴保证幺正演化
• 概率守恒：$⟨\psi (t)|\psi (t)⟩=1$

不确定性原理

Heisenberg不确定性： $\Delta A\cdot \Delta B\ge \frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|$

其中 $[A,B]=AB-BA$ 是对易子。

位置-动量：$\Delta x\cdot \Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$

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数值分析中的应用

共轭转置与矩阵计算

1. 最小二乘法：$A^{\ast }Ax=A^{\ast }b$
2. 特征值计算：Hermite矩阵的特征值是实数
3. 奇异值分解：$A=U\Sigma V^{\ast }$

迭代方法

1. 共轭梯度法：利用自伴正定矩阵的性质
2. Lanczos算法：Hermite矩阵的特征值算法
3. GMRES：一般矩阵的迭代方法

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与其他概念的关系

• 有界算子：伴随算子保持有界性
• 线性算子：伴随是线性的（共轭线性）
• 对偶空间：Banach伴随在对偶空间上作用
• 算子范数：$\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$
• 紧算子：$T$ 紧当且仅当 $T^{\ast }$ 紧

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重要定理总结

定理	内容
Riesz表示	保证伴随算子的存在唯一性
谱定理	自伴/正规算子的对角化
极分解	$T = U
C-等式*	$\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{\Vert }^2$
Von Neumann不等式	有理函数演算的估计

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参考书目

1. Reed, M., & Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Academic Press.
2. Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley.
3. Lax, P. D. (2002). Functional Analysis. Wiley-Interscience.
4. Hall, B. C. (2013). Quantum Theory for Mathematicians. Springer.

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关键词：伴随算子、自伴算子、正规算子、酉算子、谱定理、量子力学、C*-代数、投影值测度