全微分

Total differential 一元函数的微分可以将函数的偏增量表示为偏微分的形式：

f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \approx f_{x}(x,y)\Delta x \\ f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \approx f_{y}(x,y)\Delta y \end{align}$$ 函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某[[邻域\|邻域]]内有定义 如果**函数的全增量**：$\Delta z=f (x+\Delta x,y+\Delta y)-f (x,y)$ 可以表示为：$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)=\mathrm{d}z+o(\rho)$ $A,B$ 为不依赖 $\Delta x,\Delta y$ 的常数, $\rho=\sqrt{ (\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2} }$ 则称函数 $f(x)$ 在点 $(x,y)$ 处可微分 $$\begin{align} \\ \lim\limits_{ \rho \to 0 } \Delta z=0 \Rightarrow \lim\limits_{ \rho \to 0 } f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y) \end{align}$$ 多元函数微分的[[线性变换\|叠加原理]]：多元函数的全微分可以表示为各个变量的偏微分之和 $$\begin{gathered} z=f(x,y)\quad \Rightarrow \quad \mathrm{d}z=\dfrac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d} x+ \dfrac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y \\ u=g(x,y,z) \quad \Rightarrow \quad \mathrm{d}u=\dfrac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y +\dfrac{\partial u}{\partial z}\mathrm{d}z \end{gathered}$$