Cayley-Hamilton Theorem
描述了矩阵与其特征多项式之间的关系
阶矩阵的特征多项式为：
f(\lambda)&=\left\lvert \lambda \mathbf{I}-\mathbf{A} \right\rvert =\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_{1}\lambda+a_{0} \end{align}$$ 则 $\mathbf{A}$ 满足特征方程 $$\begin{align} f(\mathbf{A})=\mathbf{A}^{n}+a_{n-1}\mathbf{A}^{n-1}+\cdots+a_{1}\mathbf{A}+a_{0}\mathbf{I}=\mathbf{0} \end{align}$$ ### 推论 $$\begin{align} \mathbf{A}^{n}=-a_{n-1}\mathbf{A}^{n-1}-\cdots-a_{1}\mathbf{A}-a_{0}\mathbf{I} \end{align}$$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 次幂($k\geq n$)可以表示为 $\mathbf{A}$ 的 $n-1$ 阶多项式 $$\begin{align} \mathbf{A}^{k}=\sum\limits_{m=0}^{n-1} \alpha_{m}\mathbf{A}^{m}\quad k\geq n \end{align}$$ [[矩阵指数函数\|矩阵指数函数]] $e^{ \mathbf{A}t }$ 可以表示为 $\mathbf{A}$ 的 $n-1$ 阶多项式 $$\begin{align} e^{ \mathbf{A}t }=\sum\limits_{m=0}^{n-1} \alpha_{m}(t)\mathbf{A}^{m} \end{align}$$ 凯莱-哈密顿定理说明：方阵满足自己的特征多项式。设 $A\in\mathbb F^{n\times n}$，特征多项式为p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A) =\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0 .
p_A(A)=A^n+a_{n-1}A
这里的 $p_A(A)$ 是把标量多项式中的 $\lambda^k$ 替换为矩阵幂 $A^k$，常数项替换为常数乘以 $I$。定理只要求 $A$ 是方阵，不要求 $A$ 可逆、可对角化或有互异特征值。 ### 二阶形式 对 $2\times2$ 矩阵，特征多项式为p_A(\lambda)=\lambda
A
若 $\det(A)\ne0$，还可移项得到A
这说明行列式、迹和逆矩阵在二阶情形中由同一个多项式恒等式控制。 ### 幂降阶 由A^n=-a_{n-1}A
\operatorname{span}{I,A,A^2,\dots,A
因此对 $k\ge n$，存在系数 $\alpha_0,\dots,\alpha_{n-1}$ 使A^k=\sum_{j=0}^{n-1}\alpha_jA
系数由把标量多项式 $\lambda^k$ 对 $p_A(\lambda)$ 取余得到。 ### 矩阵函数 若 $f$ 是多项式或可由幂级数定义的函数，例如 [[矩阵指数函数\|矩阵指数函数]]，则 $f(A)$ 也可以降为低阶多项式：e^{At}=\sum_{j=0}^{n-1}\beta_j(t)A
\dot x=Ax
中，这使状态转移矩阵 $e^{At}$ 可以用有限个矩阵幂表达。 ### 与最小多项式 特征多项式不一定是使矩阵为零的最低次数多项式。最低次数的首一多项式称为[[最小多项式\|最小多项式]] $m_A(\lambda)$，满足m_A(A)=0,\qquad m_A(\lambda)\mid p_A(\lambda).
若 $A$ 可对角化，则 $m_A$ 的根没有重数；若存在 Jordan 块，$m_A$ 中对应特征值的重数等于最大 Jordan 块大小。因而凯莱-哈密顿定理给出普遍上界，最小多项式给出更精确的幂降阶关系。 ### 结构意义 从谱的角度看，若 $A=X\Lambda X^{-1}$ 可对角化，则p_A(A)=Xp_A(\Lambda)X
因为每个特征值 $\lambda_i$ 都是 $p_A$ 的根。不可对角化时，Jordan 块会引入广义特征向量链；特征多项式中足够高的重数会同时消去这些 nilpotent 部分，所以结论仍然成立。 凯莱-哈密顿定理连接 [[特征值和特征向量\|特征值和特征向量]]、[[特征多项式\|特征多项式]]、[[矩阵对角化\|矩阵对角化]]、[[Jordan标准形\|Jordan标准形]] 和 [[矩阵指数函数\|矩阵指数函数]]。它的主要作用不是直接求特征值，而是在已知特征多项式后，把矩阵幂、逆矩阵和矩阵函数压回有限维多项式空间。