复变函数的导数

Derivative of Complex Function

复变函数的导数

• 一方面，在定义上和一元函数的导数定义相似
• 另一方面，由于复数的几何上的关系和二元函数的偏导数相似

一、定义

$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta \omega }{\Delta z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$

定义中： $z_0+\Delta z\to z_0$ 以任意方式趋于 $z_0$，$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$ 如果极限存在，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，且导数值为极限值

二、求导法则

与实变函数中的求导法则类似

[f(z)\pm g(z)]'&=f'(z)\pm g'(z) \\ \\ [f(z) g(z)]'&=f(z)g'(z)+f'(z)g(z) \\ \\ \left[ \frac{f(z)}{g(z)} \right]'&=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{[g(z)]^{2}} \\ \\ (z^{n})'&=nz^{n-1} \\ \\ [kf(z)]'&=kf'(z) \end{align}$$ 复合函数的求导 $$\begin{align} \omega &=h(z)=g(f(z)) \\ \\ h'(z)&=[g(f(z))]'=g'(f(z))f'(z) \end{align}$$ 反函数的求导 $$\begin{align} z&=f^{-1}(\omega )= \varphi(\omega )\\ \varphi '(\omega )&=\frac{1}{f'(z)}=\frac{1}{f'(\varphi(\omega ))} \end{align}$$ ### 三、几何意义 *伸缩率* *旋转角*