柯西积分公式

Cauchy’s Integral Formula

一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示

基础知识

由柯西积分定理得：积分值 $I$ 只与 $f(z)$ 在 $z_0$ 点附近的值有关，对 $0<\rho <{\rho }_0$ 的任何 $\rho$ 成立:

$$I={\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz={\oint }_{C_{\rho }}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$

柯西积分公式：函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析，$C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 $D$，$z_0$ 为 $C$ 内的任一点，则有：

f(z_{0})= \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}}dz \quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}}dz=2\pi i \cdot f(z_{0}) \end{align}$$ ### 几点说明 - **解析函数**在简单闭曲线==内部任一点的值==可以用==在边界上的值==通过**积分**表示 - 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 $C: z=z_{0}+R\cdot e^{ i\theta }$ $$\begin{align} f(z_{0})&= \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}}\,dz \\ &= \dfrac{1}{2\pi i} \int \dfrac{f(z_{0}+Re^{ i\theta })}{Re^{ i\theta }}\, Re^{ i\theta }\cdot i\,d\theta \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int _{0}^{2\pi} f(z_{0}+Re^{ i\theta })\, d\theta \end{align}$$ ### 柯西积分公式的证明 $$\begin{align} \quad \;\oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}}dz&=\oint_{K} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}} \\ &=\oint_{K} \dfrac{f(z_{0})}{z-z_{0}}dz+\oint_{K} \dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}dz \\ \mid \oint_{K} \dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\mid & \leq \oint_{K} \dfrac{|f(z)-f(z_{0})|}{|z-z_{0}|}ds< \dfrac{\varepsilon}{R} \oint_{K}ds=2\pi \varepsilon \end{align}$$