Green’s Theorem
平面闭区域 上的二重积分可以通过沿闭区域 的边界曲线 上的对弧长的曲线积分来表达。 实际上使用时，常常将第二类曲线积分转换为二重积分计算
基本定理
- 闭区域 由分段光滑曲线 围成
- 、 在 上具有一阶连续偏导数
- 是 的正向边界曲线
计算特殊的第二类曲线积分（注意要满足定理的使用条件）
- 如果不为闭区域，可以考虑加边来构造定理满足的条件
- 如果闭区域不适合进行二重积分计算，可以增加辅助线段来划分为有限个部分闭区域
- 如果闭区域中包含使得 、 不存在偏导数的点，可以考虑挖洞法，根据式子特点计算复连通区域。
平面上曲线积分与路径无关的条件
四个等价条件：积分与路径无关，交叉偏导为零，环路积分为零，全微分存在原函数
\int _{L} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y \;\text{积分与路径无关} \Leftrightarrow \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y} \Leftrightarrow \oint_{L} P\mathrm{d}x+ Q\mathrm{d}y=0 \Leftrightarrow \mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y \end{align}$$ 全微分求积：全微分存在原函数 $$\begin{align} u(x,y)=\int _{(x_{0},y_{0})}^{(x,y)} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y \end{align}$$ 曲线积分与路径无关，可以选择平行于 $x$ 轴，$y$ 轴的直线进行分段积分： $$\begin{align} \int _{(x_{0},y_{0})}^{(x_{1},y_{1})} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y= \int _{x_{0}}^{x_{1}} P(x,y_{0})\, dx +\int _{y_{0}}^{y_{1}}Q(x_{1},y) \, dy \end{align}$$ ### 基本应用 **曲线积分基本定理**：对于势场 $\mathbf{F}$，曲线积分的值仅依赖于势函数在路径 $L$ 两端的值，而于与路径无关，称为保守[[场\|场]] $$\begin{align} \int _{L}\mathbf{F}\cdot\, dr=f(B)-f(A) \end{align}$$