Hypothesis testing for normal populations
一、单个正态总体均值的检验
1. 方差 已知，均值 的检验 (U 检验)
构造统计量：
Z=U=\dfrac{\overline{X}-\mu }{\dfrac{\sigma}{\sqrt{ n }}}\sim N(0,1) \end{align}$$ **拒绝域**： - 双边检验： $\left\lvert u \right\rvert\geq u_{\alpha/ 2}$ - 右边检验： $u\geq u_{\alpha}$ - 左边检验： $u\leq -u_{\alpha}$ #### 2. 方差 $\sigma^{2}$ 未知，均值 $\mu$ 的检验 （t 检验） **构造统计量**： $$\begin{align} T= \dfrac{\overline{X}-\mu }{\dfrac{S}{\sqrt{ n }}} \sim t(n-1) \end{align}$$ **拒绝域**： - 双边检验：$\left\lvert t \right\rvert\geq t_{\alpha / 2}(n-1)$ - 右边检验： $t\geq t_{\alpha}(n-1)$ - 左边检验： $t\leq -t_{\alpha}(n-1)$ ### 二、双正态总体的均值差的检验 #### 1. $\sigma^{2}_{1}=\sigma^{2}_{1}$ 均已知，$\mu_{1}-\mu_{2}$ 的检验 (U 检验) 两个样本来自两个方差相等的正态总体，方差已知，问：两种东西有无显著差异？ **构造统计量**： $$\begin{align} U=\dfrac{(\overline{X} -\overline{Y} )-(\mu_{1}-\mu_{2}) }{\sqrt{ \dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma^{2}_{2}}{n_{2}} }}\sim N(0,1) \\ \end{align}$$ **拒绝域**： - 双边检验： $\left\lvert u \right\rvert\geq u_{\alpha/ 2}$ - 右边检验： $u\geq u_{\alpha}$ - 左边检验： $u\leq -u_{\alpha}$ #### 2. $\sigma^{2}_{1}=\sigma^{2}_{1}$ 均未知，$\mu_{1}-\mu_{2}$ 的检验（t 检验） 两个样本来自两个方差相等的正态总体，方差未知 问：两种东西有无显著差异 **构造统计量**： $$\begin{align} T= \dfrac{\overline{X} -\overline{Y} -(\mu_{1}-\mu_{2})}{S_{w}\sqrt{ \dfrac{1}{n_{1}}+ \dfrac{1}{n_{2}} }} \sim t(n_{1}+n_{2}-2) \end{align}$$ $$\begin{align} S_{w}^{2}=\dfrac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} \end{align}$$ **拒绝域**： - 双边检验：$\left\lvert t \right\rvert\geq t_{\alpha / 2}(n_{1}+n_{2}-2)$ - 右边检验： $t\geq t_{\alpha}(n_{1}+n_{2}-2)$ - 左边检验： $t\leq -t_{\alpha}(n_{1}+n_{2}-2)$ #### 3. 基于成对数据的检验（t 检验） **逐对比较法**：为了比较两类事物的差异，在相同的条件下做对比实验，得到一批成对的观测值，分析观测数据作出推断 ### 三、单个正态总体方差的检验 $\chi^{2}$ 检验法 **构造统计量**： $$\begin{align} \dfrac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1) \end{align}$$ **拒绝域**： - 双边检验：$\chi^{2}\leq\chi^{2}_{1- \alpha /2}(n-1)$ $\chi^{2}\geq\chi^{2}_{\alpha/ 2}(n-1)$ - 右边检验： $\chi^{2}\geq \chi^{2}_{\alpha}(n-1)$ - 左边检验： $\chi^{2}\leq \chi^{2}_{1-\alpha}(n-1)$ ### 四、双正态总体方差的检验 **构造统计量**：F 检验法 $$\begin{align} F=\dfrac{S_{1}^{2} / S_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2} / \sigma_{2}^{2}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1) \end{align}$$ **拒绝域**： - 双边检验：$F\leq F_{1- \alpha /2}(n_{1}-1,n_{2}-1)$ $F\geq F_{\alpha / 2}(n_{1}-1,n_{2}-1)$ - 右边检验：$F\geq F_{\alpha}(n_{1}-1,n_{2}-1)$ - 左边检验：$F\leq F_{1-\alpha}(n_{1}-1,n_{2}-1)$