正态总体统计量的分布特征

取自正态总体的样本均值与样本方差的分布特征

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是取值正态总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本 $E(X_i)=\mu$ $D(X_i)=\sigma$

\dfrac{X_{i}-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\quad \quad \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{X_{i}-\mu}{\sigma}\sim N(0,n) \end{align}$$ 样本均值 $\overline{X}$ 与样本方差 $S^{2}$ 相互独立 ### 一、单正态总体 #### 1. 样本均值的分布（已知总体的方差） 样本均值 $\overline{X}$ 满足： $E(\overline{X})=\mu$ $D(\overline{X})= \dfrac{\sigma^{2}}{n}$ 服从[[正态分布\|正态分布]] $$\begin{align} \overline{X} \sim N(\mu, \dfrac{\sigma^{2}}{n}) \quad \quad \dfrac{\overline{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{ n }}} \sim N(0,1) \end{align}$$ #### 2. 样本方差的分布 服从[[卡方分布\|卡方分布]] $$\begin{align} (n-1)S^{2}=\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} \quad \dfrac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} =\sum\limits_{i=1}^{n}(\dfrac{X_{i}-\overline{X}}{\sigma})^{2} \sim \chi^{2}(n-1) \end{align}$$ #### 3. 样本均值的分布（未知总体的方差） 服从 [[t分布\|t分布]] $$\begin{align} \dfrac{\overline{X} -\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{ n }}}&=\dfrac{\overline{X} -\mu }{\dfrac{\sigma}{\sqrt{ n }}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}(n-1)} }} = \dfrac{\sim N(0,1)}{\sqrt{ \dfrac{\sim \chi^{2}(n-1) }{n-1}}} \sim t(n-1) \end{align}$$ ### 二、双正态总体 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 是取值正态总体 $X\sim N(\mu_{1},\sigma^{2}_{1})$ 的样本，样本均值 $\overline{X}$，样本方差 $S_{X}^{2}$ $Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n}$ 是取值正态总体 $Y\sim N(\mu_{2},\sigma^{2}_{2})$ 的样本，样本均值 $\overline{Y}$，样本方差 $S_{Y}^{2}$ #### 1. 样本均值差的分布 如果 $\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}$ 两个正态总体的方差相等 $$\begin{align} & \overline{X}\sim N(\mu_{1}, \dfrac{\sigma^{2}}{n_{1}}) \quad \overline{Y}\sim N(\mu_{2}, \dfrac{\sigma^{2}}{n_{2}}) \\ & \overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_{1}-\mu_{2}, \dfrac{\sigma^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma^{2}}{n_{2}}) \\ & \dfrac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sigma\sqrt{ \dfrac{1}{n_{1}} +\dfrac{1}{n_{2}}}}\sim N(0,1) \\ &\dfrac{(n_{1}-1)S_{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\dfrac{(n_{2}-1)S_{Y}^{2}}{\sigma^{2}} \\ &\sim \chi^{2}(n_{1}+n_{2}-2) \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\overline{X} -\overline{Y} -(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{ \dfrac{(n_{1}-1)S_{X}^{2}+(n_{2}-1)S_{Y}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} }\sqrt{ \dfrac{1}{n_{1}}+\dfrac{1}{n_{2}} }} &= \dfrac{\sim N(0,1)}{\sqrt{ \dfrac{\sim \chi^{2}(n_{1}+n_{2}-2)}{n_{1}+n_{2}-2} }}\sim t(n_{1}+n_{2}-2) \end{align}$$ 服从 [[t分布\|t分布]] #### 2. 样本方差之比的分布 $$\begin{align} \dfrac{S_{X}^{2}/ \sigma_{1}^{2}}{S_{Y}^{2} / \sigma_{2}^{2}} = \dfrac{\dfrac{(n_{1}-1)S_{X}^{2}}{\sigma_{1}^{2}(n_{1}-1)}}{\dfrac{(n_{2}-1)S_{Y}^{2}}{\sigma_{2}^{2}(n_{2}-1)}} =\dfrac{\dfrac{\sim \chi^{2}(n_{1}-1)}{(n_{1}-1)}}{\dfrac{\sim \chi^{2}(n_{2}-1)}{(n_{2}-1)}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1) \end{align}$$ 服从 [[F分布\|F分布]]