洛必达法则

L’Hôpital’s rule 在一定条件下，通过对分子分母分别求导，再求极限来确定未定式 $\frac{0}{0}$ 的值的方法。

一、基本定理

定理 1

1. 当 $x\to a$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零
2. 在点 $a$ 的某去心邻域内，$f^{\prime }(x)$ 及 $F^{\prime }(x)$ 都存在且 $F^{\prime }(x)\ne 0$
3. $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 存在

则有：

\lim\limits_{ x \to a } \dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{ x \to a } \dfrac{f'(x)}{F'(x)} \end{align}$$ #### 定理 2 1. 当 $x\to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ **都趋于零** 2. 当 $\left\lvert x \right\rvert>N$，$f'(x)$ 及 $F'(x)$ 都存在且 $F'(x)\neq 0$ 3. $\lim\limits_{ x \to a } \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在 (或为无穷大) 则有： $$\begin{align} \lim\limits_{ x \to \infty } \dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{ x \to \infty } \dfrac{f'(x)}{F'(x)} \end{align}$$ #### 证明 当 $x\to a$ 时的极限与 $f(a)$ 和 $F(a)$ 都无关，可以假定 $f(a)=F(a)=0$, 根据[[微分中值定理\|柯西中值定理]]有： $$\begin{align} \dfrac{f(x)}{F(x)}= \dfrac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \end{align}$$ ### 实际应用 - 如果**不是未定式则不能使用洛必达法则** - 如果不满足洛必达法则的条件，极限不一定不存在。 - 类似于 $0\cdot \infty$ $\infty-\infty$ $0^{0}$ $\infty^{0}$ 都可转化为 $\dfrac{0}{0}$ 的未定式，$\infty-\infty$ 可以通分，$0^{0}$ 可以取对数 - 可以和其他求极限的方法一起使用，例如如果求导较为繁琐，可以先换为[[无穷#等价无穷小\|等价无穷小]] ### Stolz 公式 对于某些 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型的数列极限很有效 $\lim\limits_{ n \to \infty }y_{n}=+\infty,\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n}=+\infty$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \dfrac{x_{n}}{y_{n}}=\lim\limits_{ n \to \infty } \dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}} \end{align}$$