热方程

Heat Equation 属于抛物型偏微分方程，描述了热量在物质中传导的规律，以及温度分布随时间和空间的演化。

\dfrac{\partial T}{\partial t}&=\alpha \nabla^{2}T \end{align}$$ - 它与[[薛定谔方程\|薛定谔方程]]的形式如出一辙，只相差一个虚数的单位 𝑖; - **布朗运动**提供了它的解，温度越高，布朗运动越剧烈； - 它可导出金融中的**Black–Scholes期权价格**模型; - 它是扩散系数为常数的**扩散方程**(Diffusion equation); - 它更是傅里叶级数之母，傅立叶为了研究它，发明了[[傅里叶级数\|傅里叶级数]]，才有了今天的信号与通讯系统，才有了互联网传播的图片、视频和音频... - 它被应用于图像分析和机器学习中，是[[图拉普拉斯算符\|图拉普拉斯算符]]和 Scale-space 理论背后的驱动力。 对于一个温度分布不均匀的物体，通过求解**热方程**可以知道它的**温度**如何随**时间**和**空间**的变化而变化，即温度 𝑢(𝑥,𝑡) 关于时间 𝑡 和空间 𝑥 的函数: $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{x_{1}}^{2} }+\cdots+\dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{x_{n}}^{2} }$ $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\nabla^{2}u$ $u_{t}=u_{xx}$ 可粗略的认为：温度分布不均的物体的某一点温度的变化速度 $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ 取决于该点与相近点温度均值的差 $\nabla^{2}u$